¿Cuál es el valor de la integral [matemáticas] \ displaystyle \ int ^ {x} _ {\ frac {1} {x}} \ frac {e ^ {- (t + \ frac {1} {t})}} { t} dt [/ matemáticas]?

Answer 1

-A2A-

Realmente no necesitas integrar la integral dada (¡y no puedes!). Para descubrir el intervalo creciente / decreciente de cualquier función, vamos por su derivada.

Podemos usar el segundo teorema fundamental del cálculo (regla integral de Leibniz) que establece que si [math] f (x) \ = \ int_ {g (x)} ^ {h (x)} F (t) \ dt [/ math ] entonces su derivada es

[matemáticas] f ‘(x) \ = F (h (x)) \ veces h’ (x) – F (g (x)) \ veces g ‘(x) [/ matemáticas]

Aplicando el teorema anterior, obtendríamos:

[matemáticas] f ‘(x) \ = \ Large \ frac {e ^ {- \ left (x + \ frac1 {x} \ right)}} {x} \ times 1 – \ frac {e ^ {- \ left (x + \ frac1 {x} \ right)}} {\ frac1 {x}} \ times (\ frac {-1} {x ^ 2}) [/ math]

[matemáticas] f ‘(x) \ = \ large \ frac {2e ^ {- \ left (x + \ frac1 {x} \ right)}} {x} [/ math]

Ahora, trazando este gráfico. Utilicé una calculadora gráfica en línea y obtuve esto:

Claramente, [matemática] f ‘(x)> 0 \ \ forall \ x \ in \ (0, \ infty) [/ math]

Incluso sin usar la calculadora , se podría concluir fácilmente que [matemáticas] f ‘(x) \ = \ large \ frac {2e ^ {- \ left (x + \ frac1 {x} \ right)}} {x} [/ math] siempre es positivo para todos [matemática] x> 0 [/ matemática]

[math] \ Rightarrow \ f (x) [/ math] está aumentando a lo largo del intervalo [math] (0, \ infty) [/ math]

Entonces, f (x) está aumentando en el intervalo [matemática] [1, \ infty] [/ matemática] es la mejor opción.

¡Espero que eso ayude!