¿Es cierto que la raíz de cualquier número no puede ser negativa, en este caso es incorrecto decir que si la raíz cuadrada de x es igual a -2, entonces x es = 4?

Answer 1

Esto surge una y otra vez. Hablemos de raíces cuadradas de números reales. Hay algunas cosas similares pero diferentes para mantenerse en línea.

Deje que [math] x [/ math] sea real. La ecuación [matemáticas] x ^ 2 = 4 [/ matemáticas] tiene dos soluciones. Lo escribimos como [matemáticas] 0 = x ^ 2–4 = (x + 2) (x-2) [/ matemáticas] y concluimos que [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = -2 [/ math] son ​​soluciones.

Podríamos haber obtenido la respuesta con la fórmula cuadrática. Escribirlo como [matemáticas] \ frac 1 2 x ^ 2–2 = 0 [/ matemáticas] evita la división:

[matemáticas] x = 0 \ pm \ sqrt {0 – (4) (1/2) (- 2)} = \ pm \ sqrt 4 = \ pm 2 [/ matemáticas]

La convención es el signo radical [math] \ sqrt {\ \ \ \} [/ math] se refiere a la raíz cuadrada principal. Cuando saca la raíz cuadrada de un número positivo, la raíz cuadrada principal siempre es positiva. Cuando saca la raíz cuadrada de un número negativo, el resultado es un número positivo multiplicado por [math] i [/ math]. La convención es la razón por la que necesita [math] \ pm [/ math] en la fórmula cuadrática.

Entonces, por convención, no hay solución para [math] \ sqrt {x} = – 2 [/ math]. Que yo sepa, no existe una convención similar cuando se usan exponentes, por lo que [math] x ^ {\ frac 1 2} = – 2 [/ math] tiene [math] x = 4 [/ math] como solución.

Entonces, la respuesta a la pregunta es, depende de cómo se haga la pregunta. Está mal decir [math] \ sqrt {4} = – 2 [/ math]. Es correcto decir que [matemáticas] -2 [/ matemáticas] es una solución a [matemáticas] x ^ 2 = 4 [/ matemáticas]. Está bien decir que [math] x ^ {\ frac 1 2} [/ math] tiene varios valores, y hay una rama donde [math] 4 ^ {\ frac 1 2} = 2 [/ math] y otra donde [ matemáticas] 4 ^ {\ frac 1 2} = – 2. [/ matemáticas]

Si solo saca números positivos de los radicales inferiores, no se equivocará. Aquí está mi resumen útil de las reglas para los radicales:

Answer 2

Las respuestas ya dadas son excelentes. Desde otra perspectiva, la pregunta que se hace pertenece a mucho más que raíces cuadradas y, lo que es más importante. Se refiere a la ‘convención’ y cómo funciona en matemáticas.

La convención simplemente se acuerda con la definición. Acordado por quien? Bueno, no necesariamente por usted o por mí, porque no somos miembros portadores de tarjetas del cartel matemático. Todos (o al menos la mayoría) de los matemáticos llegan a un acuerdo con respecto a cada definición particular. Esa definición se convierte entonces en canon matemático y todos los demás, herejía matemática.

En cierto sentido, todo se parece un poco a una religión. Bueno, tal vez ‘religión’ es un término demasiado fuerte para usar. Entonces llamémoslo un ‘sistema de creencias’. El punto es que la convención es lo que permite a los matemáticos comunicarse sin problemas entre sí, sin fricción y sin disputas constantes (o al menos con un mínimo de disputas). Piense en la convención como la lubricación que permite que las matemáticas funcionen en un contexto social y se mantengan yendo.

El otro punto a tener en cuenta aquí es que los matemáticos no siempre hacen un gran trabajo al alertarnos al resto de nosotros en un lenguaje claro y fácilmente inteligible sobre cuáles son los acuerdos que han alcanzado en privado entre ellos. Y una vez que un acuerdo fundamental ha sido suficientemente publicitado entre todos los matemáticos, con frecuencia nunca más se hace referencia explícita a él (en aras de conservar el tiempo, la energía y el espacio) sino que simplemente se asume implícitamente. Se convierte en parte del telón de fondo de las matemáticas – – – omnipresente y en su mayoría invisible, a tiempo para muchos matemáticos también.

Answer 3

Cuando se trabaja con números reales, las personas tienden a reservar el término raíz cuadrada para la función de raíz cuadrada. Una función es un mapa de un dominio a un rango. La función de raíz cuadrada asigna el dominio de los números reales no negativos en un rango que son los números reales no negativos de tal manera que [matemática] y = \ sqrt x \ \ implica \ x = y ^ 2 [/ matemática ] Entonces, cuando decimos “la raíz cuadrada de [matemáticas] x [/ matemáticas]”, asumimos implícitamente que [matemáticas] x [/ matemáticas] es un número real mayor o igual a cero. También asumimos implícitamente que la salida de “la raíz cuadrada de [matemáticas] x [/ matemáticas]” será un número real mayor o igual a cero. Como resultado, escribir [math] \ sqrt x = -2 [/ math] no suele ser apropiado, ya que tendemos a requerir que esta función tenga un rango que sea positivo.

Es fácil crear una función similar, llámela [math] g [/ math] que asigna los reales no negativos a los reales no positivos de tal manera que [math] y = g (x) \ \ implica \ x = y ^ 2 [/ matemáticas]. Normalmente escribimos la función de esta manera: [math] g (x) = – \ sqrt x [/ math]. Observe que esta función toma entradas no negativas y produce salidas no positivas (ya que hemos reservado el símbolo [math] \ sqrt {\} [/ math] para dar salidas no negativas).

Por supuesto, podríamos haber cambiado también los dos. Es completamente arbitrario desde un punto de vista matemático. Si quisiéramos que [math] \ sqrt {\} [/ math] diera respuestas negativas, entonces podríamos usar [math] – \ sqrt {\} [/ math] para obtener las respuestas positivas.

Ahora, todo esto se vuelve un poco más complicado cuando pasamos al ámbito de los números complejos. Si definimos el dominio como los números complejos, entonces la forma más común (creo) de definir la función de raíz cuadrada tiene como rango el conjunto de números complejos con parte real positiva. Entonces, si [math] z \ in \ mathbb C [/ math], podemos escribir [math] z = re ^ {i \ theta} [/ math] para algunos [math] r \ ge 0 [/ math] y algunos [matemáticas] \ theta \ in (- \ pi, \ pi] [/ matemáticas]. Entonces la función de raíz cuadrada viene dada por:

[matemáticas] \ sqrt z = \ sqrt re ^ {i \ frac \ theta 2} [/ matemáticas]

Hay otras formas de definir la raíz cuadrada que, por ejemplo, daría un número complejo cuya parte imaginaria no era negativa. No creo que la convención sea tan fuerte cuando el dominio es complejo.

Answer 4

Creo que esto ya ha sido respondido por una pregunta similar, pero haré todo lo posible para responder.

La raíz cuadrada de un número x es y si el cuadrado de y es igual a x. En la notación matemática de Quora: [math] sqrt (x) = y [/ math] if [math] y ^ 2 = x. [/ Math] La función de raíz cuadrada tiene la información adicional. La salida ( y ) puede ser positiva o negativa. Como ejemplo ([matemática] 2) ^ 2 = 4 [/ matemática] y [matemática] (- 2) ^ 2 = 4. [/ Matemática] Así, la [matemática] sqrt (4) = +/- 2. [ /matemáticas]

Tradicionalmente, la “raíz” de un número generalmente se entiende como el valor positivo de la raíz cuadrada. En el caso de problemas cuadráticos u otros problemas explícitos de raíz cuadrada, ambos valores de valor, positivo y negativo, deben considerarse válidos.

Entiendo que esta puede no ser la respuesta que esperabas. Estoy dispuesto a discutirlo más en los comentarios si está dispuesto a proporcionar un ejemplo de lo que necesita aclaración.

Espero que esto ayude y buena suerte!

Answer 5

Cuando sacamos la raíz cuadrada de un número, tenemos la garantía de tener un valor positivo y uno negativo. Si consideramos el valor negativo o no depende de las expectativas de la pregunta.

Considera esto

[matemáticas] x ^ 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica | x | = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = \ pm 2 [/ matemáticas]

Por que es Reloj…

[matemáticas] x ^ 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 – 4 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x + 2) (x-2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = -2,2 [/ matemáticas]

Answer 6

Sí, la declaración ya es falsa en cuanto dices que la raíz cuadrada es -2. Una raíz cuadrada siempre es positiva.

No confunda esto con tener dos soluciones para la ecuación x ^ 2 = 4. En ese caso, las dos soluciones son 2 y menos 2. Las palabras son “la raíz de 4” y “MENOS la raíz de 4”. En ambas soluciones, la raíz de 4 es positiva e igual a +2.

Answer 7

El número de la raíz cuadrada (o cualquier raíz par) no puede ser negativo sin invitar números imaginarios. Nada en contra de tener un número negativo será una respuesta para una raíz cuadrada, ya que tanto las respuestas negativas como las positivas darán el número inicial cuando estén al cuadrado, a menos que estemos considerando la raíz principal, que siempre es la respuesta positiva.

Answer 8

1. Cada número positivo tiene dos raíces cuadradas.
2. Existe una convención de que cuando usamos la notación [math] \ sqrt {x} [/ math], o verbalmente decimos “la raíz cuadrada de x”, nos estamos refiriendo a la raíz cuadrada positiva de x.
3. Entonces, si hablamos de “la raíz cuadrada de 4”, o escribimos [math] \ sqrt {4} [/ math], eso siempre significará 2.
4. Entonces, una oración que comience “Si la raíz cuadrada de x es igual a -2” no tendrá sentido.

Answer 9

” ¿Es cierto que la raíz de cualquier número no puede ser negativa”

eso no es cierto.

Una de las dos posibles raíces cuadradas de cualquier número positivo será un valor negativo.