¿Es [matemáticas] (\ text {exactamente} 1) ^ \ infty = 1 [/ matemáticas]?

Answer 1

No.

Preguntas similares fueron respondidas muchas veces en Quora (ver ¿Por qué [matemáticas] 1 ^ \ infty [/ matemáticas] es una forma indeterminada? O ¿Qué es [matemáticas] 1 ^ {\ infty} [/ matemáticas]?), Pero supongo que esto merece una atención especial por la parte ” exactamente 1 “.

Entonces, en primer lugar, no hay diferencia en la notación matemática entre “1” y “exactamente 1”. El número 1 es exactamente 1. No es aproximadamente 1, o aproximadamente 1, o más o menos 1. Es solo 1.

Por lo tanto, lo que sea que [math] (\ mbox {exactamente} 1) ^ \ infty [/ math] significa es lo mismo que cualquier cosa [math] 1 ^ \ infty [/ math].

Y [matemáticas] 1 ^ \ infty [/ matemáticas] es, por elección , sin sentido.

Los símbolos matemáticos no significan nada a menos que las personas decidan acordar un significado específico para ellos.

¿Qué es [matemáticas] 2 + 3 [/ matemáticas]? Es [matemática] 5 [/ matemática], porque hay una convención universal de que [matemática] + [/ matemática] significa “suma” y la suma de los números denotados por [matemática] 2 [/ matemática] y [matemática] 3 [/ math] es el número que denotamos por [math] 5 [/ math].

¿Qué es [matemáticas] 2 \ wr 3 [/ matemáticas]? No es nada Si no proporciona una definición de la operación [matemática] \ wr [/ matemática], está asumiendo que su lector comprende lo que se supone que significa esta operación en la práctica matemática estándar, y en la práctica matemática estándar la [matemática] El símbolo \ wr [/ math] no tiene asignado ningún significado común como una operación en números. Entonces [matemáticas] 2 \ wr 3 [/ matemáticas] no significa nada.

Del mismo modo, [matemáticas] 1 ^ \ infty [/ matemáticas] no significa nada, porque los matemáticos decidieron dejarlo sin sentido. Es una elección, una convención, no una consecuencia de algunas leyes o regulaciones. La expresión [matemática] 1 ^ \ infty [/ matemática] no adquiere significado solo porque [matemática] 1 ^ 6 [/ matemática] y [matemática] 1 ^ {1729} [/ matemática] tienen un significado. Parece una buena idea definir [matemáticas] 1 ^ \ infty [/ matemáticas] como el límite de [matemáticas] 1 ^ n [/ matemáticas] ya que [matemáticas] n [/ matemáticas] tiende al infinito, y eso es realmente un razonablemente buena idea, pero no es una gran idea. La razón por la que no es una gran idea es porque podría generar confusión cuando investigas expresiones como [math] a ^ b [/ math] cuando [math] a [/ math] está cerca de [math] 1 [/ math ] y [matemáticas] b [/ matemáticas] es grande.

Ahora, puede argumentar: “pero no me importan las [matemáticas] a [/ matemáticas] que están cerca [matemáticas] 1 [/ matemáticas], solo me importa lo que sucede cuando [matemáticas] a [/ matemáticas ] es [matemática] 1 [/ matemática] “. Está en su derecho de preocuparse por eso, pero los matemáticos optaron por dar [matemática] a ^ b [/ matemática] significado solo cuando ese significado es robusto cuando [matemática] a [/ math] o [math] b [/ math] o ambos cambian un poquito. Es conveniente. Cuando miras la expresión [math] \ pi ^ {\ sqrt {2}} [/ math], usted sabe que está cerca de [matemáticas] \ pi ^ {1.414} [/ matemáticas], y también está cerca de [matemáticas] \ izquierda (\ frac {355} {113} \ derecha) ^ \ frac {7} {5 } [/ math]. No tiene que preocuparse por cuál de los números aquí está más cerca de [math] \ pi [/ math] o [math] \ sqrt {2} [/ math]; el límite existe independientemente de cómo eliges abordarlo.

Este no es el caso con [math] 1 ^ \ infty [/ math], que es robusto cuando mantiene fijo [math] 1 [/ math] pero pierde toda robustez si modificamos ese [math] 1 [/ math] por un poquito – no importa cuán pequeño sea el bit. Debido a esta sensibilidad, nosotros (las personas) preferimos dejar esa expresión indeterminada, a pesar de que [math] 1 [/ math] hay exactamente [math] 1 [/ math].

Answer 2

Muchas personas han comentado que debería ser igual a 1, pero me gustaría divergir.

Para mí tiene que ser un no definido.

Digamos,

[matemáticas] => 1 ^ n = 1 [/ matemáticas] (n siendo cualquier no)

[matemáticas] => \ ln (1 ^ n) = \ ln1 [/ matemáticas]

[matemáticas] => n \ ln1 = 0 [/ matemáticas]

bueno, la ecuación es válida para cualquier no finito, pero consideremos el caso cuando [math] n = \ infty [/ math] (es decir, no indefinido)

en este caso, si consideramos el lhs , obtenemos

[matemáticas] \ infty * 0 \ neq0 [/ matemáticas] (es decir, no es igual a cero)

Entonces tiene que ser un no definido.

Edición 1: ¿por qué [math] \ infty * 0 \ neq0 [/ math] ?

Aquí está lo que sucede con [matemáticas] \ infty [/ matemáticas]

digamos k es un no arbitrario (finito); [matemáticas] k = 1,2,3,…, 1.2,2.6,… [/ matemáticas]

ahora [matemáticas] \ frac {k} {\ infty} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] => 0 * \ infty = k [/ matemáticas]

pero k puede tener muchos valores como ya hemos definido.

Answer 3

Es raro ver [matemáticas] 1 ^ \ infty [/ matemáticas] en un libro de matemáticas. Es más frecuente ver algo como [math] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ 2} [/ math]. Entonces, para mí, una forma razonable de definirlo es [matemática] 1 ^ \ infty = [/ matemática] [matemática] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} 1 ^ n [/ matemática]. Como [matemática] 1 ^ n = 1 [/ matemática] para cualquier n, esta ecuación es válida.

Si la notación [matemáticas] 1 ^ \ infty [/ matemáticas] no está bien definida, entonces no podemos hacer ninguna conclusión. Para ser un poco constructivo aquí, me gustaría enfatizar que los conceptos matemáticos abstractos tienen sus aplicaciones. Por ejemplo, [math] 1 ^ \ infty [/ math] se puede interpretar de la siguiente manera: después de hacer un depósito de $ 1 y mantenerlo en el banco durante mucho tiempo, cuánto dinero puede obtener con cero ¿tasa de interés? No recibirá más de $ 1. Las cosas no son tan triviales si el banco le proporciona una tasa de interés [matemática] 1 / n [/ matemática] si está dispuesto a mantener el dinero allí durante n años (no es probable en el mundo real). Entonces, si puede darse el lujo de esperar, eventualmente obtendrá algo cercano a 2.7, porque

[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n = e. [/ math]

Para más información sobre e, vea e (constante matemática) – Wikipedia.

Answer 4

No quiero ser desagradable con esto, pero la mayoría de las respuestas a continuación son muy erróneas. La operación de exponenciación se define solo en números reales. Infinity NO ES UN NÚMERO REAL. EDITAR Entre las únicas cosas matemáticamente precisas que puede decir a este respecto están:

1) [matemáticas] Lim_ {x \ rightarrow \ infty} 1 ^ x = 1 [/ matemáticas]

2) Como números cardinales, con uno que representa un conjunto de 1 elemento, se puede ver

[matemáticas] 1 ^ {\ infty} [/ matemáticas] como la cardinalidad del conjunto de funciones de un conjunto

con elementos infinitos en un conjunto con un elemento. En este sentido, la expresión es igual a uno.

Todas las respuestas dicen lo contrario, tratar el infinito como un número regular es matemáticamente incorrecto. Hay algo que decir por el bien de la intuición, pero al final del día, una prueba real debe tener rigor.

Answer 5

Sí lo es.

Esta es una de esas cosas que simplemente no entiendo acerca de los matemáticos. No importa cuán inteligentes sean, cuán buenos de persona sean e independientemente de cuánto entiendan la situación (y comprendan que la otra persona también entiende la situación), les encanta ser quisquillosos en asuntos triviales como la notación.

Sí [matemática] 1 ^ \ infty = 1 [/ matemática] porque [matemática] 1 ^ n = 1 [/ matemática] para n grande arbitrariamente. Es decir, [matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} 1 ^ n = 1 [/ matemáticas]. Y [math] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} f (n) [/ math] es la interpretación más razonable de alguna expresión [math] f (\ infty) [/ math].

Sin embargo, es importante recordar que si [math] f [/ math] y [math] g [/ math] son ​​funciones tales que [math] \ lim_ {x \ rightarrow a} f (x) = 1 [/ matemática] y [matemática] \ lim_ {x \ rightarrow a} g (x) = \ infty [/ math], luego [math] \ lim_ {x \ rightarrow a} f (x) ^ {g (x)} [ / math] no es necesariamente [math] 1 [/ math], porque [math] g [/ math] podría acercarse a [math] \ infty [/ math] más rápido que [math] f [/ math] se aproxima a 1. En otro Es decir, esto solo significa que un número muy cercano a uno, elevado a una potencia muy alta, no está necesariamente cerca de 1.

Por esta razón, [math] 1 ^ \ infty [/ math] se define como no [math] 1 [/ math], sino indefinido. Pero esa es realmente una definición arbitraria, y la única razón por la que está permitida es porque [math] \ infty [/ math] no es un símbolo perfectamente definido, por lo que los matemáticos pueden declarar que [math] 1 ^ \ infty [/ math] es no debe interpretarse como [matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} 1 ^ n. [/ matemáticas]

Entonces, en cuanto a la pregunta, ¿es uno para el poder del infinito igual a uno? Esta pregunta no está bien formulada debido al uso de la palabra “infinito”, pero la respuesta más razonable sería sí. Decir que no no está mal, pero crea más confusión de lo que resuelve, y puede hacer que la gente piense la absurda idea de que multiplicar uno por sí mismo suficientes veces puede dar lugar a un número diferente de uno.

Answer 6

Depende de lo que denota la notación [matemáticas] 1 ^ \ infty [/ matemáticas].

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Si se entiende como un … No sé cuál es el término general, pero “forma indeterminada” es el caso especial donde están indefinidos, entonces significa

“El valor común de [math] \ lim_ {x \ to 0} f (x) ^ {g (x)} [/ math] para todos f, g tal que [math] \ lim_ {x \ to 0} f (x) = 1 [/ math] y [math] \ lim_ {x \ to 0} g (x) = + \ infty [/ math], siempre que exista tal cosa ”

y luego está indefinido porque tal cosa, como resulta, no existe.

Estas cosas de “forma indeterminada” son básicamente una forma de establecer la regla de l’Hospital, y si fuera por mí, las eliminaríamos por completo porque son terribles y confusas y nunca he conocido a nadie que haya encontrado Uno de ellos servicial.

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Si se entiende como “la cardinalidad del conjunto de funciones de un conjunto infinito a un conjunto de un elemento”, entonces, sí, existe precisamente una de esas funciones, independientemente de cuán grande sea el conjunto infinito, entonces [matemáticas] 1 ^ \ infty = 1 [/ math].

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Si significa algo más, entonces puede ser igual a uno, o a otra cosa, o indefinido, dependiendo de lo que signifique.

Answer 7

No. 1 elevado al infinito no es 1.

1 elevado a cualquier número individual es 1.

El infinito no es un número, estrictamente hablando; El infinito es un concepto.

Lo que quiero decir con esto es que el infinito es el número más grande, no un número grande.

Debido a esto, tenemos que verificar si todo sigue funcionando, cuando elevamos un número al poder del infinito.

Entonces, elevemos uno al poder del infinito y supongamos que es igual a uno. Si esta afirmación es verdadera, cualquier manipulación realizada en la ecuación no debe contradecir ningún axioma matemático.

Entonces 1 ^ (infinito) = 1

Tomando el registro de ambos lados.

Obtenemos que el infinito multiplicado por el registro de 1 es igual al registro de 1.

Dado que el registro de 1 es cero.

Entonces tenemos infinito multiplicado por cero igual a cero.

Esta es una declaración indefinida en matemáticas. (Intenta dividir entre cero o infinito)

Como esta afirmación es indefinida, nuestra suposición original de uno elevado al poder del infinito es igual a uno, debe ser falsa.

No estoy seguro de si podemos afirmar que no está definido, pero definitivamente podemos decir que no es igual a uno.

Nota: estoy escribiendo en mi teléfono, por lo que no tengo la función matemática.

Tara!

Answer 8

6.9.2016 – “¿Es [matemáticas] {(exactamente 1)} ^ {\ infty} = 1 [/ matemáticas]?”

La expresión ‘exactamente 1’ no es estándar. Supongo que te refieres a ‘1’. Pero si está pensando en distinguir 1 de [matemáticas] 1 \ pm \ epsilon [/ matemáticas], donde [matemáticas] \ epsilón [/ matemáticas] es un pequeño número positivo, entonces tenga en cuenta que eso no tiene ningún significado para el caso positivo es el resultado [math] \ infty [/ math] y en el caso negativo es 0.

Entonces realmente se pregunta si [math] {1} ^ {\ infty} [/ math] = 1. Si quiere decir “¿Cuál es el límite cuando n se acerca [matemática] \ infty [/ matemática] de una secuencia [matemática] {a} _ {n} = 1 \ veces {a} _ {n-1} [/ matemática] con [math] {a} _ {1} [/ math] = 1? ”, el resultado es, por supuesto, 1.

Sin embargo, el significado habitual (acordado) de [matemáticas] {1} ^ {\ infty} [/ matemáticas] es [matemáticas] {lim} _ {n \ rightarrow \ infty} {(1 + {\ epsilon} _ { n})} ^ {n} [/ math] donde [math] {\ epsilon} _ {n} \ rightarrow 0 [/ math] como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math], que no necesita existir y si lo hace, puede ser de 0 a [math] \ infty [/ math] (para [math] {\ epsilon} _ {n} [/ math] real). Es decir, su expresión, la que probablemente debería haber usado, no está definida.

Answer 9

Sí, la respuesta correcta es 1.

Como x ^ ∞ [matemáticas] [/ matemáticas] tienes que multiplicar x por for veces.

por lo tanto 1 ^ ∞ = 1.1.1.1.1…. .1 (∞ veces).

y sabemos que cualquier número en 1 es igual a 1.

por lo tanto 1 ^ ∞ = 1.

¿Es fácil o no .. !!!

Answer 10

¿Es [matemáticas] (\ text {exactamente} 1) ^ \ infty = 1 [/ matemáticas] ?

La expresión no tiene sentido tal como está escrita. El símbolo [math] \ infty [/ math] se usa en matemáticas solo en el contexto de un Límite. Entonces podrías escribir una expresión como

[matemáticas] \ quad \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} 1 ^ n = 1 [/ matemáticas]

Que es una expresión válida. También es correcto porque [math] \ forall n \ in \ mathbb N \ colon 1 ^ n = 1 [/ math] (es decir, [math] 1 [/ math] elevado a cualquier poder total finito es [math] 1 [/matemáticas]).

Para usar un número transfinito real como exponente, necesitará especificar qué infinito y qué definición de exponenciación. Por cierto, existen números transfinitos perfectamente válidos, como el número Cardinal [math] \ aleph_0 [/ math] o el número Surreal [math] \ omega [/ math], por lo que aquellos que dicen ” infinito no es un número ” no son del todo correctos . Ciertamente no hay un número real transfinito, pero existen otras aritméticas transfinitas.

En aritmética cardinal [matemática] 1 ^ {\ aleph_0} = 1 [/ matemática], pero tenga cuidado al intentar utilizar la intuición con cantidades transfinitas. Por ejemplo, la probabilidad de elegir cualquier número real particular de manera uniforme en el rango [matemática] (0,1) [/ matemática] es precisamente cero y, sin embargo, la “suma infinita” de tales probabilidades entre los innumerables números reales en el rango es uno , porque se elige algún número.

Answer 11

Hola amigos. En primer lugar, me gustaría prometer que haré todo lo posible para que mi inglés sea comprensible. También debo decir que no soy matemático, por lo que mi razonamiento puede parecer gracioso. Creo que [matemáticas] 1 ^ \ infty = 1 [/ matemáticas] Esto se debe a que creo que el número uno es el especial :).

En realidad, la definición de números naturales no es posible sin el número cero y el número uno. Los matemáticos a menudo lo olvidan. Piensan de manera abstracta. No soy matemático. Soy físico, ingeniero y programador. Eso significa que soy un poco matemático. Sin embargo, primero tengo que pensar objetivamente y luego abstraerme. Es el camino del objeto a la abstracción. Esto es lo más interesante y difícil, aunque muchas personas que poseen un nivel matemático poderoso y que resuelven fácilmente problemas abstractos simplemente no saben cómo obtener la formulación abstracta del problema. No persuadiré a quienes piensen que este es un barco vacío. Es suficiente si están de acuerdo en que sucede a veces. Trataré de explicarlo con un simple ejemplo. Preguntado: “¿Qué haces agregando 3 a 1?” El sorpresa del matemático parpadea y luego, incrédulo, sonríe y dice algo así como: “Agrego 3 a 1 y todo. En otras palabras, encuentro el valor de la expresión 3 + 1”. Y tiene razón, según él. A los matemáticos no les importa la cuestión de la cantidad que representa los números 3 y 1. Olvidan que el 3 son tres unidades del número 3 = 3 × 1, 1 y 1 es una unidad de número: 1 = 1 × 1. Los físicos resuelven problemas relacionados con la realidad y no pueden darse el lujo de olvidar las unidades. Si a los físicos se les ocurre agregar tres elefantes a una tortuga, rechazará la tentación y no demorará la visita a la iglesia. Entonces, el físico sabe que cualquier número es un signo que simboliza el número de unidades numéricas que distinguen el valor de cero. Es por eso que 3 = 3 × 1 = 3 y 1 = 1 × 1. En primer lugar hay un número y el segundo es la unidad de número. ¡El número 1 es ambos! Echemos un vistazo más de cerca a la expresión: 1 = 1 × 1. Es solo magia, ¿no? La expresión a = axa es verdadera solo para cero y uno: los bloques de construcción de los cimientos de la aritmética. Tanto el número 1 en el lado derecho tiene derechos absolutamente iguales y para ambos se puede aplicar: 1 = 1 × 1. Es decir: 1-> 1 × 1-> 1x1x1x1 y así sucesivamente “ad infinitum”. Estos argumentos pueden leerse fácilmente como prueba de una equidad [matemática] 1 ^ \ infty = 1 [/ matemática] por el método de inducción matemática.

En cuanto al logaritmo de expresión [matemática] 1 ^ \ infty = 1 [/ matemática] y generó controversia, creo que es debido a la incertidumbre del logaritmo a la base 1. Por la definición del logaritmo, el logaritmo con la base a del número c y es un número b tal que [matemática] a ^ b = c [/ matemática]. Se entiende que el triple de los números a, b, c son mutuamente definibles de forma única. Sin embargo, para a = 1, el número c siempre es igual a 1, y un número b puede ser arbitrario. Obviamente, el logaritmo a la base 1 debe prohibirse como una fracción con denominador cero. Cuando calculamos el logaritmo del número 1 para cualquier base a, también siempre obtenemos cero. Es decir, los tres números 1, 0, un valor válido para cualquier ay también están ausentes. Eso significa que cualquier razón con el logaritmo de 1 es inaceptable en la expresión de otra manera que no sea cero. Parece que [math] \ ln {1} [/ math] es tal cero que es más fuerte que cualquier infinito. 😀

Es por eso que estoy de acuerdo con aquellos que dicen que cero es un número y que infinito es un proceso. No estoy hablando de un infinitesimal, sino de cero.

Answer 12

2 x 0 = 1 x 0

Después de la simplificación

2 = 1

Llamo esta anomalía a su atención porque en matemáticas tanto el infinito como el cero son conceptos puramente filosóficos. Por lo tanto, su pregunta no es más que un juego de filosofía disfrazado de matemática.

Toda la ciencia es arte, pero no todo el arte es ciencia (Nietzsche- The Gay Science).

Answer 13

Ya lo es. Como ha especificado que es exactamente 1, cuando se eleva al poder del infinito, la respuesta es 1.

Pero si estaba tendiendo a 1 (no exactamente 1), entonces la respuesta habría sido e (e = 2.713 ..), en este caso necesita usar la fórmula para el límite x tiende a 0 [matemáticas] (1 + x) ^ (1 / x) = e [/ matemáticas]

Espero que haya sido útil.

Answer 14

Sí, [matemáticas] (exactamente 1) ^ ∞ = 1 [/ matemáticas] veamos por qué:

¿Qué es ∞

∞ es solo un gran número real. (Un número real es cualquier número de -∞ a + ∞, puede ser decimal, irracional, negativo, etc.) (Número real).
∞ es el número más grande que obviamente no conocemos, pero es un número positivo y puede suponer que su valor es igual a aproximadamente 1000000000 …

¿Qué es (exactamente 1) ^ ∞

1 x 1 = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1
ahora 1 x 1 x 1 x … 10000000 … veces = 1.
Entonces, por lo tanto (exactamente 1) ^ ∞ = 1.

2 cosas que quiero señalar

• (exactamente 1) no es igual a (→ 1), (es decir, tiende a uno) [matemáticas] * [/ matemáticas].
• (→ 1) ^ ∞ es una forma indeterminada (las formas indeterminadas son aquellas que no se pueden calcular sin tomar límites) que pueden tener valores diferentes según la expresión.
  Por ejemplo: let (→ 1) = (1-h); donde h = 0.0000 … 1, es decir, un número muy pequeño, en ese caso (→ 1) = 0.99999 … y (→ 1) ^ ∞ = (→ 0) o h.

[matemática] *: [/ matemática] tiende a uno significa: no es igual a uno pero alcanza 1, es decir, muy cerca de uno, ya sea menor que 1 o mayor que 1, por lo que puede ser 0.9999 … o 1.000 … 1.

Espero que eso ayude a aclarar las cosas.
Haga sus consultas en la sección de comentarios a continuación.

Answer 15

Que tal si. Si. 1 * 1 cualquier número de veces siempre será 1. Pero en el momento en que sea mayor que uno, aunque sea un poco, x ^ infinito = infinito. No veo una sola razón por la que no funcionaría de esta manera fuera de “simplemente no nos gusta hablar de eso”.