¿Qué es [math] \ int_ {0} ^ {1} \ ln (x) \ ln (1-x) \; dx? [/ Math]

Answer 1

Suponiendo que la integración tiene límites de [matemática] 0 \ a 1 [/ matemática] la integral se puede escribir como [matemática] I = – \ int_0 ^ 1 \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ ln x [ / math] [math] \ frac {x ^ k} {k} dx [/ math] Usando el teorema de Fubini, podemos intercambiar la suma y la integración y podemos escribir [math] \ displaystyle I = – \ sum_ {k \ ge 1} \ frac {1} {k} \ int_0 ^ 1 x ^ k \ ln x dx = \ sum_ {k \ ge 1} \ frac {1} {k} \ int_0 ^ \ infty e ^ {- (k + 1) u} u du [/ math] donde hemos usado la transformación [math] x = e ^ {- u}. [/ math] Entonces, la integral se evalúa como [math] I = \ displaystyle \ sum_ {k \ ge 1} \ frac {1} {k (k + 1) ^ 2} \ Gamma (2) = \ sum_ {k \ ge 1} \ left (\ frac {1} {k (k + 1)} – \ frac {1} {(k + 1) ^ 2} \ right) = \ sum_ {k \ ge 1} \ left ( \ frac {1} {k} – \ frac {1} {k + 1} \ right) – (\ zeta (2) -1) = 2- \ pi ^ 2/6. [/ math]

Answer 2

Ahhhh, este era un viejo problema favorito. Para estar seguro, creo que quiere decir que tiene límites en su integral, de 0 a 1.

Si es así, la respuesta es algo larga y técnica. Para comenzar, la integral es incorrecta en 0 y 1, por lo que debe calcular

[matemáticas] \ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ a 0 ^ +} \ lim _ {\ delta \ a 0 ^ +} \ int _ {\ delta} ^ {1- \ epsilon} \ ln (x) \ ln (1- X)\; dx [/ math]

Luego use la identidad de la serie armónica:

[matemática] \ displaystyle -ln (1-x) = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {x ^ k} {k} [/ math].

Divide esa suma en una cabeza y una cola (en, por ejemplo, [matemáticas] k = n [/ matemáticas]), y estima el error representado por la cola:

[matemáticas] \ displaystyle \ left | \ ln (1-x) + \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {x ^ k} {k} \ right | = x ^ {n + 1} \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ k} {n + 1 + k} [/ math]

donde en el lado derecho, cambié el índice de nuevo a [matemática] k = 0 [/ matemática] agregando el “punto de inicio de la cola” [matemática] n + 1 [/ matemática] nuevamente en el denominador. (¿Por qué? Para que se parezca un poco más a una serie geométrica).

De ahora en adelante, me pondré un poco incompleto, en caso de que esta sea una tarea:

Ahora limita el lado derecho de arriba por una serie geométrica, que se simplifica a una agradable expresión racional en el orden de [matemáticas] x ^ {n + 1} / (1-x) [/ matemáticas].

Genial, volviendo a la integral original, ahora puede usar el resultado de las últimas ecuaciones para encontrar un límite superior para la integral “perturbada”

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {\ delta} ^ {1- \ epsilon} \ ln (x) \ left (\ ln (1-x) + \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {x ^ k} {k} \ right) \; dx [/ math]

Por separado, también se puede usar la desigualdad [matemáticas] 0 \ leq – \ ln x \ leq (1 / x) -1 [/ matemáticas] para unir aún más la integral perturbada, obteniendo finalmente un límite superior (estricto) de [matemáticas] \ frac {1} {(n + 1) ^ 2} [/ matemáticas]. Por lo tanto, como [math] n \ to \ infty [/ math], la integral perturbada va a cero. Por lo tanto, la integral original es igual a los tiempos de perturbación [matemática] -1 [/ matemática].

A partir de ahí, se parece mucho más a un problema de cálculo. En realidad, puede evaluar estas integrales, obteniendo expresiones en [math] \ epsilon [/ math] y [math] \ delta [/ math]. Para calcular los límites a medida que van a cero, aún necesita algunos trucos, pero son trucos en el ámbito de un estudiante de cálculo. Probablemente necesites esa identidad de serie armónica nuevamente. También necesitará saber [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 1 / n ^ 2 = \ pi ^ 2/6 [/ matemáticas].

Answer 3

Con solo echar un vistazo, intente la integración por partes.

U = ln (x), dU = 1 / x

dV = ln (1-x), para V intente integrar la serie taylor de ln (1-x)

Luego conéctelo a la fórmula de IBP uv – integral (vdu)

¡Buena suerte!

Answer 4

Usando la serie Maclaurin

Aplicar integración por partes a:

Por l’Hopital Rule

Usando fracción parcial

Por la solución de Euler al problema de Basilea