Tiene razón en que toma la derivada y aísla la x para encontrar números críticos, pero le falta un detalle adicional. Cada vez que se le pide que encuentre números críticos, lo único que debe pensar primero es lo siguiente:
- Tome la derivada, establezca igual a cero y resuelva [math] x [/ math].
- Tome la misma derivada que tomó en el paso 1 y póngala igual a indefinida y resuelva [math] x [/ math].
A. [matemáticas] f (x) = sen x [/ matemáticas]
- [matemáticas] f ‘(x) = cos x = 0 [/ matemáticas]. Entonces, ¿con qué valores de x [math] cos x [/ math] se convierte en cero? Si no has memorizado esto, entonces debes ir a un lado y dibujar el gráfico o usar una calculadora gráfica para representar gráficamente cos x. Y, lo que debe encontrar cuando hace esto es que x = [matemática] \ pi / 2 [/ matemática], [matemática] 3 \ pi / 2 [/ matemática], [matemática] 5 \ pi / 2 [/ matemática ], [matemáticas] 7 \ pi / 2 [/ matemáticas], … y así sucesivamente (los negativos de estos números también son números críticos). Dado que hay un número infinito de respuestas, tanto positivas como negativas, entonces tendrá que escribir la respuesta en una forma general más compacta. Es una forma adecuada y convencional de escribir respuestas, de este tipo, que los profesores casi siempre esperan que uses. Entonces, ¿qué tienen en común todas las respuestas? Respuesta, [matemáticas] \ dfrac {\ pi} {2} [/ matemáticas]. Observe los números que se les asignan. Son números impares. La forma de expresar números impares de manera general es [matemática] 2n + 1 [/ matemática] siempre que [matemática] n [/ matemática] sea un número entero (pruébelo). Entonces, los números críticos para [matemáticas] f (x) = sen x [/ matemáticas] son:
[matemáticas] x = (2n + 1) * \ dfrac {\ pi} {2} [/ matemáticas], donde n es un número entero.
2. [math] cos x [/ math] se define en todas partes. Entonces, nunca está indefinido.
B. [matemáticas] g (x) = cos (\ sqrt {x}) [/ matemáticas]
- (i) [matemáticas] g ‘(x) = -sin (\ sqrt {x}) * \ frac {1} {2} x ^ \ frac {-1} {2} [/ matemáticas]
(ii) [matemáticas] g ‘(x) = -sin (\ sqrt {x}) * \ frac {1} {2 \ sqrt {x}} = \ dfrac {-sin (\ sqrt {x})} { 2 \ sqrt {x}} = 0 [/ matemáticas]
Una fracción es igual a cero cuando solo el numerador es igual a cero. Entonces,
[matemáticas] -sin (\ sqrt {x}) = 0 [/ matemáticas]
[matemática] sin (\ sqrt {x}) = 0 [/ matemática] Multipliqué ambos lados por -1
¿El seno de qué números te da cero? Nuevamente, al mirar una gráfica, ocurre en [matemáticas] x = 0, \ pi, 2 \ pi, 3 \ pi [/ matemáticas], … y así sucesivamente. En general, [matemática] x = n * \ pi [/ matemática] donde [matemática] n [/ matemática] es un número entero. Pero recuerde, la ecuación es [math] sin (\ sqrt {x}) = 0 [/ math]. Entonces, desea que [math] \ sqrt {x} [/ math] termine igualando [math] 0, \ pi, 2 \ pi, [/ math] etc. En ese caso, haga lo siguiente:
[matemáticas] \ sqrt {x} = n * \ pi [/ matemáticas] y resuelve para x.
Al cuadrar ambos lados obtienes los números críticos [matemática] x = (n \ pi) ^ 2 = n ^ 2 \ pi ^ 2 [/ matemática] donde n es un entero POSITIVO. Observe la raíz cuadrada en el denominador de la fracción en la ecuación (ii) anterior. Si no restringiera n para que solo fuera positivo, entonces n podría haber sido cero. Si n = 0, entonces x = 0. Y si x = 0, eso habría hecho que el denominador fuera igual a cero, lo que habría hecho que la fracción entera no fuera igual a cero sino igual a [matemáticas] \ frac {0} {0 } [/ math] o undefined, que me lleva al paso 2.
2. Tome la fracción en (ii), ajústela como indefinida y resuelva. ¿Como haces eso? ¿Cuándo es indefinida una fracción (porque (ii) es una fracción)? Resp. Cuando el denominador es cero. ¿Cuando es eso? Cuando x = 0. Y ese es el número crítico final para la función [matemáticas] g (x) = cos (\ sqrt {x}) [/ matemáticas].
C. Ahora para [matemáticas] h (z) = z * | z + 3 | [/ matemáticas]
Antes de comenzar, tenemos que resolver este negocio de valor absoluto. Centrémonos solo en | z + 3 | parte de la función [matemáticas] h [/ matemáticas] primero. | z + 3 | es en realidad DOS funciones en una! También conocido como una función por partes. Como no sé cómo escribir la notación de función por partes adecuada en Latex Quora, usaré una alternativa.
El significado de | z + 3 |:
| z + 3 | = z + 3, si [matemática] z + 3 \ geq0 [/ matemática]. Entonces, para [math] z \ geq -3 [/ math].
| z + 3 | = – (z + 3) = -z-3, si [matemática] z + 3 <0 [/ matemática]. Entonces para z <-3.
Entonces, ahora tenemos una manera de expresar h (z). Es decir, ahora sabemos las dos funciones que representa h (z).
(i) [matemáticas] h (z) = z * (z + 3) = z ^ 2 + 3z [/ matemáticas], para [matemáticas] z \ geq -3 [/ matemáticas].
(ii) [matemáticas] h (z) = z * (-z-3) = -z ^ 2 – 3z [/ matemáticas], para z <-3.
- (a) Para [matemáticas] z \ geq -3 [/ matemáticas], use [matemáticas] h (x) = z ^ 2 + 3z [/ matemáticas]. Entonces,
[matemáticas] h ‘(z) = 2z + 3 = 0 [/ matemáticas]
z = -3/2 (¡Aquí está nuestro primer número crítico!) Por cierto, debe verificar si este número es> = -3. Como lo es, no lo omitimos. Si no fuera así, debes omitirlo. Sí, lo sé, las matemáticas son un dolor.
(b) Para z <-3, use [matemáticas] h (x) = -z ^ 2 - 3z [/ matemáticas]. Entonces,
[matemáticas] h ‘(z) = -2z – 3 = 0 [/ matemáticas]
z = -3/2 que es lo que obtuvimos en 1a. PERO este número no es <-3. Entonces, debes omitir.
2. Aquí hay un hecho real: los polinomios son diferenciables para todos los valores de x. Es decir, la derivada existe o se define para cualquier valor de x. Esto significa que si configuro cualquier polinomio igual a indefinido y resuelvo x (para poder encontrar esos valores de x que harán que el polinomio sea indefinido) ¡no obtendré ninguno! Los polinomios nunca están indefinidos.
Entonces, dado que h ‘(z) = 2z + 3 y h’ (z) = -2z – 3 son polinomios, no obtendré un número crítico estableciendo cada ecuación igual a indefinida y resolviendo para [matemáticas] z [/ matemáticas]. PERO, estas dos funciones no son independientes entre sí. Ambos se combinaron para hacer una nueva función llamada h (z). Entonces, antes de llamarlo un día, hay un valor z que debe verificar para ver si obtiene una respuesta indefinida. Ese valor z se encuentra en el punto donde se combinaron estas dos funciones. ¿Dónde se combinaron? En z = -3! ¿Cómo verifica si obtiene un indefinido en z = -3?
Respuesta: Conecta -3 para z en AMBAS funciones h ‘(z). Si ambos le dan el mismo número, entonces no está indefinido en z = -3. Pero, si ambos le dan respuestas diferentes, entonces NO ESTÁ definido en z = -3. Entonces, ¡descubrámoslo!
h ‘(- 3) = 2 (-3) + 3 = -3.
h ‘(- 3) = -2 (-3) – 3 = 3. ¡No es lo mismo! ¡Así que encontramos otro número crítico!
Respuesta final para el problema h (z):
los números críticos están en z = -3/2 y -3. El fin.