¿Cuál es el significado de esta Fórmula Suma de los cubos de los primeros n números naturales = [n (n + 1) / 2] 2?

Answer 1

Probablemente quieras decir [n (n + 1) / 2] ^ 2

El significado es, si n es cualquier número natural, entonces

[matemáticas] 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 +… + n ^ 3 = [n (n + 1) / 2] ^ 2 [/ matemáticas]

En realidad debería verse así:

o, un poco más simbólicamente,

Si necesita una prueba, la prueba más simple es por el método de inducción. La derivación de la fórmula necesita un poco más de conocimiento que el método de inducción. El método de inducción se discute a continuación.

Deje que haya algún número natural [matemática] k [/ matemática] tal que satisfaga la ecuación dada cuando [matemática] n = k [/ matemática].

Entonces la fórmula es verdadera cuando [math] n = k [/ math] así como [math] n = k + 1 [/ math].

La derivación de la fórmula se puede hacer por muchos métodos. Puede hacer clic en los siguientes enlaces:

mathschallenge.net

https://proofwiki.org/wiki/Sum_o…

o simplemente google “suma de la primera prueba de n cubos” para obtener más resultados.

Answer 2

Significa que los primeros n números naturales son verdaderos.
Por ejemplo: [matemáticas] 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 = (3 (3 + 1) / 2) ^ 2 => {6} ^ 2 => 36 => 1 + 8 + 27 => 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 [/ matemáticas]
¿Necesitas pruebas? Por inducción matemática demostrémoslo.
Vamos a comprobar si es cierto para n = 1,
[matemáticas] 1 ^ 3 = (1 (1 + 1) / 2) ^ 2 = 1 ^ 2 = 1 [/ matemáticas]
Entonces es cierto para n = 1
Que sea cierto para un número n = k,
Entonces [matemáticas]
1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3… + k ^ 3 = (k (k + 1) / 2) ^ 2 [/ matemáticas]
Para un número n = k + 1,
[matemáticas]
1 ^ 3 + 2 ^ 3 +… k ^ 3 + (k + 1) ^ 3
= (k ^ 2 (k + 1) ^ 2) / 4 + (k + 1) ^ 3
= (k + 1) ^ 2 (k ^ 2/4 + (k + 1))
= (k + 1) ^ 2 (k ^ 2 + 4k + 4) / 4
= (k + 1) ^ 2 ((k + 2) ^ 2) / 4
= ((k + 1) (k + 2) / 2) ^ 2
[/matemáticas]
Entonces, es verdadero para n = k y también el siguiente número n = k + 1, y si es verdadero para 1, será verdadero para 2, cuando sea verdadero para 2, será verdadero para 3, y así sucesivamente … Entonces es cierto para los números naturales n € N

Answer 3

Esta identidad puede ser probada por inducción matemática. Intenta pensar si fue la suma de los primeros n números naturales, n cuadrados perfectos naturales, etc. Intenta buscar algunos videos en YouTube sobre inducción matemática e inducción matemática fuerte.

Answer 4

Como el resto de las respuestas no han señalado la interpretación geométrica de su pregunta, me gustaría señalar que la suma de los cubos de los primeros n números naturales en realidad representa el número de rectángulos en un cuadrado por n. Por ejemplo, en un cuadrado de 3 × 3, el número de rectángulos (incluidos los cuadrados como un caso especial de rectángulos) es [3 × 4/2] ^ 2 = 36 rectángulos.

Answer 5

De la suma de Jacob Bernoulli de las potencias p de los primeros n números naturales para exponentes positivos integrales p , tenemos lo siguiente: