¿Es [math] \ phi (1) = n [/ math] un homomorfismo de anillo de [math] \ mathbb {Z} [/ math] a [math] \ mathbb {Z} [/ math]?

Answer 1

Suponiendo que su definición de anillo debe incluir 1, cada homomorfismo de anillo debe satisfacer

1. [matemáticas] \ phi (a + b) = \ phi (a) + \ phi (b) [/ matemáticas]
2. [matemáticas] \ phi (ab) = \ phi (a) \ phi (b) [/ matemáticas]
3. [matemáticas] \ phi (1) = 1. [/ matemáticas]

Su definición viola la tercera propiedad cuando [math] n \ not = 1. [/ math] Cuando n = 1, es el homomorfismo de identidad. Observe que un homomorfismo en anillo de Z a Z tendría, para n positivo,

[matemáticas] \ phi (n) = \ phi (1 + 1 + \ dots + 1) = \ phi (1) + \ phi (1) + \ dots + \ phi (1) = 1 + 1 + \ dots + 1 = n. [/ matemáticas]

De manera similar para n negativo, tendrá [matemática] \ phi (n) = n [/ matemática] y cada homomorfismo de anillo satisface [matemática] \ phi (0) = 0. [/ matemática] Por lo tanto, el único homomorfismo de anillo de Z a Z es la identidad homomorfismo.

Answer 2

La definición de un homomorfismo en anillo es la siguiente:

Dados anillos [math] R [/ math] y [math] S [/ math], suponiendo una multiplicación asociativa y una identidad multiplicativa distinta de cero que llamaremos 1, un mapa [math] \ varphi: R \ rightarrow S [/ math] llamado homomorfismo en anillo si, por cada [matemática] r, r ‘[/ matemática] en [matemática] R: [/ matemática]

[matemáticas] \ varphi (r + r ‘) = \ varphi (r) + \ varphi (r’) [/ math]

[matemáticas] \ varphi (r \ circ r ‘) = \ varphi (r) \ circ \ varphi (r’) [/ math]

[matemáticas] \ varphi (0) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ varphi (1) = 1 [/ matemáticas]

Podemos ver que uno de los requisitos para ser un homomorfismo en anillo es que [math] \ varphi (0) = 0, [/ math] y con la información que proporcionó en la pregunta, esta propiedad es imposible ya que el mapa que definió solo toma 1 como entrada. Por tanto, la respuesta es no.