Si las raíces del polinomio [math] ax ^ 3 + 3bx ^ 2 = 3cx-d [/ math] están en AP, pruebe que [math] 2b ^ 3 + 3abc + a ^ 2d = 0 [/ math]?

Answer 1

La ecuación dada es [math] ax ^ 3 + 3bx ^ 2-3cx + d = 0. [/ math] Deje que las raíces de esta ecuación sean [math] \ alpha, \ beta [/ math] y [math] \ gamma .[/matemáticas]

Dado que están en AP, [matemática] \ alpha + \ gamma = 2 \ beta [/ matemática]

Suma de las raíces de la ecuación cúbica = [matemáticas] \ dfrac {-3b} {a} [/ matemáticas]

=> [matemáticas] \ alpha + \ beta + \ gamma = \ dfrac {-3b} {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ alpha + \ gamma = 2 \ beta, [/ matemáticas] Entonces,

=> [matemáticas] 3 \ beta = \ dfrac {-3b} {a} [/ matemáticas]

=> [matemáticas] \ beta = \ dfrac {-b} {a} [/ matemáticas]

Como [math] \ beta [/ math] es una raíz de la ecuación, sustitúyala en la ecuación.

[matemáticas] a * (\ dfrac {-b} {a}) ^ 3 + 3b * (\ dfrac {-b} {a}) ^ 2-3c (\ dfrac {-b} {a}) + d = 0 [/ matemáticas]

Multiplica ambos lados por [matemáticas] a ^ 2: [/ matemáticas]

=> [matemáticas] 2b ^ 3 + 3abc + a ^ 2d = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, probado.

Answer 2

Creo que hay un error tipográfico en tu pregunta.
Debería ser :
ax ^ 3 + 3bx ^ 2 = 3cx + d.
Entonces, ax ^ 3 + 3bx ^ 2 – 3cx – d = 0.
Si m, n & o son las raíces de un eje cúbico ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0, tiene algunas propiedades:

1. m + n + o = -b / a.
2. mn + no + om = c / a.
3. mno = -d / a.

Aquí hay una solución:

¡¡Salud!!

Answer 3

Esta es una buena pieza de matemática que utiliza el concepto del capítulo polinómico y AP y Voila, usted está allí.

Aquellos que son un poco novatos, echen un vistazo a las soluciones que proporcioné en la primera y segunda imágenes y los que son amigos profesionales revisen la breve nota que proporcioné en la segunda imagen y continúen por su cuenta.

Espero que esto ayude. No te olvides de votar.