¿Cómo puede un factor [matemáticas] 15p ^ 2 + 2pq-24q ^ 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Cuando está factorizando, ya que esta no es una pregunta compleja, puede ignorar q y q ^ 2 . Entonces, puede factorizar como normal con 15p ^ 2 + 2p – 24 . Esto es lo que llamamos forma estándar, ax ^ 2 + bx + c . (la variable no tiene que ser x ). Tenga en cuenta que si aprende a multiplicar binomios primero, será más fácil comprender lo siguiente.

La siguiente será una guía detallada para factorizar preguntas simples como esta.

1. Primero, cada vez que esté factorizando algo, primero trate de encontrar un factor común. Recuerde, el factor común también puede ser una variable. Como no hay variables en cada término y no hay un factor común para los números, no necesitamos hacer nada más para este paso. Si fueran un factor común en los números, sacaríamos el factor común (usaré f para indicar el factor común) de esta manera: f (ax ^ 2 + bx + c) , con los nuevos valores a, byc igual al número original dividido por f , y luego continúe factorizando solo lo que queda entre paréntesis.
2. Comprueba si el valor de a y c son cuadrados perfectos. Si tiene tres términos, yb es igual a √a veces √c , tiene lo que se llama un trinomio cuadrado perfecto, lo que significa que si b es positivo, los factores son (√ax + √c) (√ax + √c ) , o (√ax – √c) (√ax – √c) si b es negativo (x no tiene raíz cuadrada). Ahora, si tiene solo dos valores (es decir, ax ^ 2 + c ), con a o c negativo pero no con ambos, es una situación llamada “diferencia de cuadrados”. Eso significaría que el factor es (√ax + √c) (√ax – √c) (x no tiene raíz cuadrada).
3. Ahora, verifique si el primer y / o último número son primos. Esto es importante. Porque si el valor de a es primo, sabemos que la forma factorizada será (ax + __) (x + __) , o si c fue primo, entonces sabemos que la forma factorizada será (__ + c) (__ + 1) Tenga en cuenta que si ambos fueran primos, puede ser (ax + c) (x + 1) o (ax + 1) (x + c) , pero generalmente no ambos.
4. Ahora, si todo lo demás falla, puedes intentar factorizar normalmente. Normalmente comienzo seleccionando pares de factores de a y c (hagamos que el par de factores sea igual a p y q , con el otro par igual a r y s ). Luego pruebo (px + r) (qx + s) y (px + s) (qx + r) , y luego sigo adelante, probando con diferentes pares de factores. Recuerde que los dos números que no son coeficientes de x tienen que sumar igual b y multiplicar por igual c .

Si eres bueno con las matemáticas y has aprendido factoraje a fondo, puedes llegar a un punto como yo, donde puedo verlo y saber que la respuesta es (5p + 6q) (3p – 4q) .

Answer 2

Permítanme hacer una pequeña simplificación, que podría hacer que el problema parezca menos confuso.

Tome [math] q ^ 2 [/ math] common y llévelo afuera.

[matemáticas] 15p ^ 2 + 2pq – 24q ^ 2 = q ^ 2 (15 \ left (\ dfrac {p} {q} \ right) ^ 2 + 2 \ left (\ dfrac {p} {q} \ right) – 24) = q ^ 2 \ times F \ left (\ frac {p} {q} \ right) [/ math].

Deje [math] \ dfrac {p} {q} = x [/ math]

Háganos saber factorizar [matemáticas] F (x) = 15x ^ 2 + 2x – 24 [/ matemáticas]

Las raíces de [matemáticas] F (x) [/ matemáticas] nos ayudarán a factorizar el polinomio.

[matemáticas] \ implica x = \ dfrac {-2 \ pm \ sqrt {4 + (4 \ times24 \ times15)}} {2 \ times15} = \ dfrac {-2 \ pm \ sqrt {1444}} {30} = \ dfrac {-2 \ pm 38} {30} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = \ dfrac {-1 \ pm 19} {15} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] F (x) = 15 \ left (x + \ dfrac {4} {3} \ right) \ left (x – \ dfrac {6} {5} \ right) = (3x + 4) (5x – 6) [/ matemáticas]

[matemáticas] 15p ^ 2 + 2pq – 24q ^ 2 = q ^ 2 \ left (3 \ dfrac {p} {q} + 4 \ right) \ left (5 \ dfrac {p} {q} – 6 \ right) = \ boxed {(3p + 4q) (5p – 6q)} [/ math]

Answer 3

Encuentre un coprimo de los coeficientes. Por ejemplo [matemáticas] 7 [/ matemáticas].

Sustituya [matemáticas] 7 [/ matemáticas] por [matemáticas] q [/ matemáticas]. Usted obtiene

[matemáticas] 15p ^ 2 + 14 p – 24 \ cdot 49 [/ matemáticas]

Ahora factorice este polinomio [matemático] 2 ^ \ text {nd} [/ matemático] usando la fórmula cuadrática.

[matemáticas] (3p + 28) (5p – 42) [/ matemáticas]

Ahora expresamos las constantes en función de [matemáticas] q [/ matemáticas] (por las cuales sustituimos [matemáticas] 7 [/ matemáticas])

[matemáticas] \ begin {align *} 28 & = \ phantom {-} 4 \ cdot 7 = \ phantom {-} 4 q \\ -42 & = -6 \ cdot 7 = -6 q \ end {align *} [/matemáticas]

La factorización final es así:

[matemáticas] (3p + 4q) (5p – 6q) [/ matemáticas]

Answer 4

El método más fácil y más infalible cuando los factores de una cuadrática no son inmediatamente obvios es usar la fórmula

[matemáticas] x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]

para el cuadrático en la forma [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0. [/ matemáticas]

Para su ejemplo, entonces [matemáticas] a = 15, b = 2q, c = -24q ^ 2. [/ Matemáticas]

[matemáticas] p = \ frac {-2q \ pm \ sqrt {(2q) ^ 2-4 (15) (- 24q ^ 2)}} {2 (15)} [/ matemáticas]

[matemáticas] p = \ frac {-2q \ pm \ sqrt {4q ^ 2 + 1440q ^ 2}} {30} [/ matemáticas]

[matemáticas] p = \ frac {-2q \ pm 38q} {30} [/ matemáticas]

[matemáticas] p = \ frac {-4q} {3}, p = \ frac {6q} {5} [/ matemáticas]

Answer 5

Gracias por la pregunta Resolverlo me da mucha diversión y me recuerda a los viejos tiempos.

Mira 15p ^ 2 + 2pq – 24q ^ 2

Me veo obligado a pensar que se puede representar como (ap + bq) (cp + dq). a, b, c, d son algunos números desconocidos.

¿Por qué? Porque puedo ver p ^ 2, pq, q ^ 2, que naturalmente conducen a la forma familiar anterior.

Luego expando (ap + bq) (cp + dq) = ac p ^ 2 + (bc + ad) pq + bd q ^ 2

Para garantizar que la expansión sea igual a lo que esperamos, enumero las siguientes ecuaciones:

1. ac = 15
2. bd = -24
3. bc + ad = 2

Acabo de intentar una factorización común de 15 como 3 y 5, y una factorización común de 4 y -6 o 3 y -8.

Entonces resulta que solo a = 3 b = 4 c = 5 d = -6 funciona.

Answer 6

Esto se llama factorización por agrupación o descomposición. Primero, multiplique 15 y 24 para obtener 360. Ahora encontramos dos números con el producto 360 y la diferencia 2. Si existen, deben estar alrededor de [math] \ sqrt {360} = 18.9 [/ math]. Por lo tanto, deben ser 18 y 20. Asegúrese de verificar si funcionan. Ellas hacen. Usando esos números separamos la expresión como [math] 15 {p ^ 2} + 20pq – 18pq – 24 {q ^ 2} [/ math].

Ahora factor común los dos primeros términos y luego los dos últimos para obtener

[matemática] 5p (3p + 4q) – 6q (3p + 4q) = (3p + 4q) (5p – 6q) [/ matemática].

Siempre verifica tu respuesta multiplicando.

Answer 7

Las preguntas que involucran coeficientes de no unidad de p y q (o x, o x e y) requieren un poco de prueba y error y un trabajo separado para generar factores para todos estos coeficientes. Este trabajo se acelera cuando el estudiante ha realizado una inversión sustancial en sumas mentales.

15 tiene factores de 1,3,5 y 15.

24 tiene factores de 1,2,3,4,6,8,12 y 24.

Por experiencia, un pequeño término medio (el 2pq) sugiere que los factores cercanos en tamaño se multiplicaron para formar el 15 y el 24. En ese caso, elegimos 3 y 5 para el 15, y 4 y 6 para el 24 (en realidad -4 y 6, o 4 y -6, para obtener -24). Al ponerlos en orden aleatorio, obtenemos esto:

(5p + 4q) (3p – 6q)

La expansión sugiere que terminaremos con un término medio de 5x (-6) + 4 × 3 = -18, que es demasiado grande y negativo en comparación con 2 (en el término 2pq). Mezclamos números para tratar de obtener un número menor:

1. coloca el signo negativo en el 4.
2. multiplique el -4 con 5 en lugar de 3 para que 6 se multiplique con 3. Emparejamos “gigantes” con “pececillos” para intentar que las respuestas sean lo más pequeñas posible.
3. Obtenemos (5p + 6q) (3p – 4q)

5x (-4) + 6 × 3 = -2…. eso está muy cerca! Significa que el signo negativo debería haberse quedado en el 6 y no haber cambiado al 4.

Por lo tanto, la respuesta es (5p – 6q) (3p + 4q).

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Un método alternativo para factorizar generalmente se llama dividir el término medio, pero implica el producto de 15 y -24 que está bastante más allá de las capacidades mentales de la mayoría de los estudiantes y requiere un trabajo adicional por separado.

15x (-24) = -360

Ahora enumeramos factores de 360 ​​(no -360):

1 × 360, 2 × 180, 3 × 120, 4 × 90, 5 × 72, 6 × 60, 8 × 45, 9 × 40, 10 × 36, 12 × 30, 15 × 24, 18 × 20… ¡Ajá!

¿Recuerdas que calculamos -360 y no 360? 18 y -20, y -18 y 20, son pares de factores que suman -2 y 2 respectivamente. El último, que es 2, es el coeficiente de pq en la pregunta original.

Entonces ahora dividimos el término medio:

1. 15p ^ 2 + 20pq – 18pq -24q ^ 2
2. Factoriza los 2 términos a la izquierda y a la derecha por separado
   5p (3p + 4q) – 6q (3p + 4q)
3. Factoriza el término (3p + 4q)
   (3p + 4q) (5p – 6q)

(3p + 4q) (5p – 6q) es la misma respuesta producida por el primer método anterior.

Answer 8

Descomponga el término medio como la suma / diferencia de dos términos de modo que su producto sea igual al producto del primer y último término.

Aquí 15 * 24 = 360
Verifique otros factores de este número para encontrar dos que cuando se multiplican dan este número y cuando se suman / restan dan el término medio.

En este caso son 18 y 20

Entonces reescribe la ecuación como 15p ^ 2 + 20pq- 18pq -24q ^ 2
=> 5p (3p + 4q) -6q (3p + 4q)
=> (5p-6q) (3p + 4q)

Answer 9

Necesitamos factorizar [matemáticas] 24 \ veces 15 = 3 \ veces 2 \ veces 2 \ veces 2 \ veces 3 \ veces 5 [/ matemáticas]

Ahora debemos elegir algunos números de los factores y multiplicarlos por separado para hacer dos nuevos factores que sumarán [math] -2 [/ math]

Elegimos [math] 5 \ times 2 \ times 2 = 20 [/ math] y [math] 3 \ times 3 \ times 2 = 18 [/ math]

¿Puedes ver que cuando tomamos su diferencia terminaríamos con [matemáticas] +2 [/ matemáticas]? Este es el coeficiente de nuestro término medio.

Ahora reescribiremos el trinomio como

[matemáticas] 15p ^ 2 + 2pq-24q ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 15p ^ 2 + 20pq-18pq-24q ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 5p (3p + 4q) -6q (3p + 4q) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (3p + 4q) (5p-6q) [/ matemáticas]

Y ahí lo tienes. ¡Responder!

Answer 10

Bueno, la ecuación anterior se puede reescribir como: 15p² + 20pq – 18pq – 24q²

(20 y -18 son los factores del producto de los coeficientes de p² y q² cuya diferencia es igual al coeficiente del término medio)

=> 5p (3p + 4) – 6q (3p-4q)

Que es básicamente solo 5p y -6q ambos multiplicados por (3p – 4q),

=> (5p – 6q) (3p – 4q)

Entonces ahí lo tienes, (5p – 6q) y (3p – 4q) son los dos factores de la cuadrática. Reemplazar x con cualquier término dará como resultado una respuesta de 0.

Answer 11