Cómo simplificar [matemáticas] \ frac {2k ^ 2-1} {4k ^ 2-1} [/ matemáticas] en fracción parcial

Answer 1

Siempre trato de evitar la división larga polinómica cuando puedo porque es aburrida y mecánica (¡y difícil de formatear en LaTeX!), Y hay otro método que a menudo ahorra tiempo (aunque no siempre funciona).

[matemáticas] \ dfrac {2k ^ 2-1} {4k ^ 2-1} = \ dfrac {4k ^ 2-1-2k ^ 2} {4k ^ 2-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1- \ dfrac {2k ^ 2} {4k ^ 2-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1- \ dfrac {1} {2} [\ dfrac {2k ^ 2-0.5 + 0.5} {2k ^ 2-0.5}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1- \ dfrac {1} {2} [1+ \ dfrac {0.5} {2k ^ 2-0.5}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} – \ dfrac {1} {2} (\ dfrac {1} {4k ^ 2-1}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} – [\ dfrac {1} {2 (2k + 1) (2k-1)}] [/ matemáticas]

No se requiere una división larga.

Puse corchetes alrededor del último término para recordarnos que tenemos que tomar lo negativo de ese término (ya que estamos a punto de dividirlo en dos términos).

Para romper la última fracción decimos

[matemáticas] \ dfrac {1} {2 (2k + 1) (2k-1)} = \ dfrac {A} {2k + 1} + \ dfrac {B} {2k-1} [/ matemática]

Entonces [matemáticas] \ dfrac {1} {2} = A (2k-1) + B (2k + 1) [/ matemáticas]

Para [matemática] k = 1/2: \ dfrac {1} {2} = 2B [/ matemática] entonces [matemática] B = \ dfrac {1} {4} [/ matemática]

Para [matemática] k = -1/2: \ dfrac {1} {2} = -2A [/ matemática] entonces [matemática] A = – \ dfrac {1} {4} [/ matemática]

Entonces [matemáticas] \ dfrac {1} {2 (2k + 1) (2k-1)} = – \ dfrac {1} {4 (2k + 1)} + \ dfrac {1} {4 (2k-1) }[/matemáticas]

Y [matemáticas] \ dfrac {1} {2} – [\ dfrac {1} {2 (2k + 1) (2k-1)}] = \ dfrac {1} {2} – [- \ dfrac {1} {4 (2k + 1)} + \ dfrac {1} {4 (2k-1)}] [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] \ dfrac {2k ^ 2-1} {4k ^ 2-1} = \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {4 (2k + 1)} – \ dfrac {1} { 4 (2k-1)} [/ matemáticas]

Editar : vea la respuesta de Anirban Ghoshal para una forma mucho más inteligente de dividir [matemáticas] \ dfrac {1} {2 (2k + 1) (2k-1)}. [/ Matemáticas]

Answer 2

Divida [math] \ displaystyle (2k ^ 2-1) [/ math] por [math] \ displaystyle (4k ^ 2-1) [/ math] por el método de división polinómica. Notarás que

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {2k ^ 2-1} {4k ^ 2-1} = \ frac {1} {2} \ left (1- \ frac {1} {4k ^ 2-1} \ right) [/matemáticas]

Y ahora resuelva [math] \ displaystyle \ frac {1} {4k ^ 2-1} [/ math], obtendrá

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {2} \ left (1+ \ frac {1} {2 (2k + 1)} – \ frac {1} {2 (2k-1)} \ right) [ /matemáticas]

Answer 3

El grado del denominador es idéntico al numerador, por lo que necesitamos una división adicional antes de convertirlo en fracciones parciales. Decimos:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {2k ^ 2-1} {4k ^ 2 -1} = \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2 (2k-1) (2k + 1)} = \ frac {1} {2} + \ frac {(2k + 1) – (2k-1)} {4 (2k-1) (2k + 1)} = \ frac {1} {2} + \ frac { 1} {4 (2k – 1)} – \ frac {1} {4 (2k + 1)} [/ matemáticas]