¿Cuál es la integral de 1 / (sec x + cos x)?

Answer 1

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int {\ dfrac {\ mathrm {d} x} {\ sec (x) + \ cos (x)}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int {\ dfrac {\ sec (x)} {\ sec ^ 2 (x) +1}} \ mathrm {d} x [/ math]

Poner, [math] \ sec ^ 2 (x) + 1 = u, \ mathrm {d} u = 2 \ sec ^ 2 (x) \ tan (x) \ mathrm {d} x = 2 (u-1) \ sqrt {u-2} \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int {\ dfrac {\ sqrt {u-1}} {u} \ times \ dfrac {1} {2 (u-1) \ sqrt {u-2}}} \ mathrm {d } u [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ left (\ displaystyle \ \ int {\ dfrac {1} {u \ sqrt {u-1} \ sqrt {u-2}}} \ mathrm {d} u \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ left (\ displaystyle \ \ int {\ dfrac {1} {u \ sqrt {u ^ 2-3u + 2}}} \ mathrm {d} u \ right) [ /matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ left (\ displaystyle \ \ int {\ dfrac {1} {u ^ 2 \ sqrt {\ dfrac {2} {u ^ 2} – \ dfrac {3} {u } +1}}} \ mathrm {d} u \ right) [/ math]

[matemáticas] \ omega = \ dfrac {1} {u}, \ mathrm {d} \ omega = – \ dfrac {1} {u ^ 2} \ mathrm {d} u = – \ omega ^ 2 \ mathrm {d } u [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {2 \ sqrt {2}} \ displaystyle \ \ int {\ omega ^ 2 \ dfrac {1} {\ sqrt {\ omega ^ 2- \ dfrac {3} {2} \ omega + \ dfrac {1} {2}}} \ veces – \ dfrac {1} {\ omega ^ 2}} \ mathrm {d} \ omega [/ math]

[matemáticas] – \ dfrac {1} {2 \ sqrt {2}} \ displaystyle \ \ int {\ dfrac {1} {\ sqrt {\ omega ^ 2-1.5 \ omega + 0.5}}} \ mathrm {d} \ omega [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ dfrac {1} {2 \ sqrt {2}} \ displaystyle \ \ int {\ dfrac {1} {\ sqrt {(\ omega-0.75) ^ 2- \ dfrac {1} {16}} }} \ mathrm {d} \ omega [/ math]

[matemáticas] \ omega- \ dfrac {3} {4} = \ phi, \ mathrm {d} \ phi = \ mathrm {d} \ omega [/ math]

[matemáticas] – \ dfrac {1} {2 \ sqrt {2}} \ displaystyle \ \ int {\ dfrac {1} {\ sqrt {\ phi ^ 2- \ dfrac {1} {16}}}} \ mathrm {d} \ phi [/ math]

[matemáticas] \ phi = \ dfrac {1} {4} \ sec (\ theta), \ mathrm {d} \ phi = \ dfrac {\ sec (\ theta) \ tan (\ theta)} {4} \ mathrm {d} \ theta [/ math]

[matemáticas] – \ dfrac {1} {2 \ sqrt {2}} \ displaystyle \ \ int {\ dfrac {4} {\ tan (\ theta)} \ times \ dfrac {\ sec (\ theta) \ tan ( \ theta)} {4}} \ mathrm {d} \ theta [/ math]

[matemáticas] – \ dfrac {1} {2 \ sqrt {2}} \ displaystyle \ \ int {\ sec (\ theta)} \ mathrm {d} \ theta [/ math]

Explicación sobre [math] \ displaystyle \ \ int {\ sec (\ theta)} \ mathrm {d} \ theta [/ math]

[matemáticas] – \ dfrac {1} {2 \ sqrt {2}} \ ln \ left | \ sec (\ theta) + \ tan (\ theta) \ right | + C [/ math]

[matemáticas] \ theta = \ arcsec (4 \ phi), \ tan (\ theta) = \ sqrt {16 \ phi ^ 2-1} [/ math]

[matemáticas] – \ dfrac {1} {2 \ sqrt {2}} \ ln \ left | 4 \ phi + \ sqrt {16 \ phi ^ 2-1} \ right | + C [/ math]

[matemáticas] \ phi = \ left (\ omega- \ dfrac {3} {4} \ right) ^ 2, \ sqrt {16 \ phi ^ 2-1} = \ sqrt {16 \ omega ^ 2-24 \ omega +8} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ dfrac {1} {2 \ sqrt {2}} \ ln \ left | 4 \ omega-3 + \ sqrt {16 \ omega ^ 2-24 \ omega + 8} \ right | + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ omega = \ dfrac {1} {u} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ dfrac {1} {2 \ sqrt {2}} \ ln \ left | \ dfrac {4-3u + \ sqrt {8u ^ 2-24u + 16}} {u} \ right | + C [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ dfrac {1} {2 \ sqrt {2}} \ left (\ ln \ left | 4-3u + \ sqrt {8u ^ 2-24u + 16} \ right | – \ ln | u | \ right ) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] u = \ seg ^ 2 (x) +1, [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ dfrac {1} {2 \ sqrt {2}} \ left (\ ln \ left | 4-3 (\ sec ^ 2 (x) +1) + \ sqrt {8 (\ sec ^ 2 ( x) +1) ^ 2-24 (\ sec ^ 2 (x) +1) +16} \ right | – \ ln | \ sec ^ 2 (x) +1 | \ right) + C [/ math]

Answer 2

[matemática] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ mathrm {d} x} {\ sec x + \ cos x} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ cos x} {1+ \ cos ^ 2 {x}} \ mathrm {d} x [/ math]

[math] = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ cos x} {2- \ sin ^ 2 {x}} \ mathrm {d} x [/ math]

---

[matemáticas] \ sin x = \ sqrt {2} \ sin \ theta [/ matemáticas]

[math] \ cos {x} \ mathrm {d} x = \ sqrt {2} \ cos {\ theta} \ mathrm {d} \ theta [/ math]

---

[matemáticas] I = \ dfrac {1} {\ sqrt2} \ displaystyle \ int \ dfrac {\ cos \ theta} {\ cos ^ 2 \ theta} \ mathrm {d} \ theta [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {\ sqrt2} \ displaystyle \ int \ sec \ theta \ mathrm {d} \ theta [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {\ sqrt2} \ ln (\ sec \ theta + \ tan \ theta) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {\ sqrt2} \ ln \ left (\ dfrac {1+ \ sin \ theta} {cos \ theta} \ right) + C [/ math]

---

[matemáticas] \ sin x = \ sqrt {2} \ sin \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin \ theta = \ dfrac {\ sin {x}} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos \ theta = \ sqrt {1- \ sin ^ 2 {\ theta}} [/ matemáticas]

Pon el valor de [math] \ sin \ theta [/ math]

¡Sustituya de nuevo para obtener la respuesta!

[matemáticas] \ boxed {I = \ dfrac {1} {\ sqrt2} \ ln \ left (\ dfrac {\ sin {x} + \ sqrt {2}} {\ sqrt {2- \ sin ^ 2 {x} }} \ right) + C} [/ math]

[matemáticas] I = \ dfrac {1} {2 \ sqrt2} 2 \ ln \ left (\ dfrac {\ sin {x} + \ sqrt {2}} {\ sqrt {2- \ sin ^ 2 {x}} } \ right) [/ math]

[matemáticas] I = \ dfrac {1} {2 \ sqrt2} \ ln \ left (\ dfrac {(\ sin {x} + \ sqrt {2}) ^ 2} {(\ sqrt {2} – \ sin { x}) (\ sqrt {2} + \ sin {x})} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ boxed {I = \ dfrac {1} {2 \ sqrt2} \ ln \ left (\ dfrac {\ sqrt {2} + \ sin x} {\ sqrt {2} – \ sin {x}} \ derecha) + C} [/ matemáticas]

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¡Puedes verificar la respuesta tomando su derivada!

¡Quizás te preguntes si la respuesta es diferente!

Pero use el hecho de que [matemáticas] \ cos (2x) = 1-2 \ sin ^ 2 (x) [/ matemáticas]

Answer 3

1 / (sec x + cos x) = cos x / (1 + cos ^ 2 x) = cos x / (2 – sen ^ 2 x). Sea u = sen x, entonces
du = cos x dx, por lo que desea integrar
du / (2 – u ^ 2) = (1 / (2 sqrt (2))) (du / (sqrt (2) + u) + du / (sqrt (2) – u)).
Entonces la integral es (1 / (2 sqrt (2))) (ln (sqrt (2) + u) – ln (sqrt (2) – u))
es decir (1 / (2 sqrt (2))) ln ((sqrt (2) + sin x) / (sqrt (2) – sin x)).