Cómo encontrar todas las funciones [math] f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math] de manera que [math] | f (x) -f (y) | = 2 | xy | [/ math ]

Answer 1

En primer lugar, puede demostrar que la función diferencial [matemática] f (x) [/ matemática] es 2 o -2. Esto significaría que la función siempre es continua.

Ahora mi afirmación de que el diferencial de [matemática] f (x) [/ matemática] es continua Ie [matemática] f ‘(x) = 2 [/ matemática] para todo x o [matemática] f’ (x) = – 2 [ / math] para todos los x.

Prueba: Suponga que [math] x_0 [/ math] donde [math] f ‘(x) [/ math] cambia su valor, también suponga WLOG [math] f’ (x ^ + _ 0) = 2 [/ math] y [matemáticas] f ‘(x ^ -_ 0) = -2 [/ matemáticas]

Ahora considere a> b> c

Usando la condición dada:

[matemáticas] | f (a) -f (b) | + | f (b) -f (c) | = 2 (ac) = | f (a) -f (c) | [/ math]

Observe que [matemáticas] | x | + | y ​​| = | x + y | [/ math] significa [math] xy> 0 [/ math]

Por lo tanto, [matemáticas] (f (a) -f (b)) (f (b) -f (c))> 0 [/ matemáticas]

Tome [math] b = x ^ + _ 0 [/ math] y limite a tiende a b. Tenga en cuenta que a> b y [math] f ‘(x ^ + _ 0) [/ math] es positivo significa [math] (f (a) -f (b))> 0 [/ math]. También por continuidad [math ] f (x ^ + _ 0) = f (x ^ -_ 0) [/ matemática]

Esto significa [matemática] f (x ^ + _ 0)> f (c) [/ matemática] para todos [matemática] c <x ^ + _ 0 [/ matemática]

También tomando [matemáticas] a = x ^ -_ 0 [/ matemáticas] y el límite b tiende a dar

[matemática] f (x ^ -_ 0) <f (c) [/ matemática] para todos [matemática] c <x ^ -_ 0 [/ matemática]. Esto dará contradicción y, por lo tanto, afirmación, y ahora podemos obtener [matemáticas] f (x) = 2x + c [/ matemáticas] o [matemáticas] f (x) = -2x + c [/ matemáticas]

Answer 2

Mover [matemáticas] | xy | [/ matemáticas] a LHS

[matemática] \ izquierda | \ dfrac {f (x) -f (y)} {xy} \ derecha | = 2 [/ matemática]

Esto implica, [matemáticas] \ dfrac {f (x) -f (y)} {xy} = \ pm2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {f (x) -f (y)} {xy} [/ matemáticas] esta es la pendiente de la función [matemáticas] f (x) [/ matemáticas]

Por lo tanto, la función cuya pendiente es [math] \ pm2 [/ math] es

[matemáticas] f (x) = \ pm2x + C [/ matemáticas]

donde [math] C [/ math] es una constante arbitraria

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Puedes consultar la respuesta

[matemáticas] | f (x) -f (y) | = | (\ pm2x + C) – (\ pm2y + C) | = | \ pm2x- \ pm2y | = | \ pm2 || xy | = 2 | xy | [/ matemáticas]

¡Espero eso ayude!

Answer 3

Divide ambos lados entre | x – y | y tomar límite como

lim y -> x

Tenemos | f ‘(x) | = 2

==> f ‘(x) = 2, -2

==> f (x) = 2x + c

O, f (x) = -2x + c donde ‘c’ es una constante.