¿Cuál es el número de soluciones para x + y + z = 7?

Answer 1

Los números naturales son una expresión ambigua aquí (algunos consideran que 0 es un número natural), así que te daré dos soluciones.

Primero, supongamos que por números naturales te refieres a enteros positivos . Una pregunta equivalente es: “Dada una fila de 7 estrellas, ¿de cuántas maneras puedo colocar 2 barras en la fila para dividir las estrellas en 3 grupos?” Este método se llama método de barras y estrellas . El número de estrellas en el grupo de la izquierda corresponde a x , el número de estrellas en el grupo del medio corresponde a y , y el número de estrellas en el grupo de la derecha corresponde a z .

Entonces su fila de estrellas se ve así: * * * * * * *

Y una posible forma de colocar las barras es: * | * * * * | * *

¿De cuántas maneras podemos colocar los bares? Bueno, las barras tienen que ir en dos de las seis ranuras entre las estrellas. Hay (6 elegir 2) formas de hacer esto. Es decir:

[matemáticas] \ dfrac {6!} {2! (6-2)!} = \ dfrac {6 \ cdot 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1} {2 \ cdot 1 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1} = \ dfrac {6 \ cdot 5} {2} = 15 [/ matemáticas]

Entonces, hay 15 soluciones triples de números enteros positivos para [matemáticas] x + y + z = 7 [/ matemáticas].

De acuerdo, pero ¿y si por números naturales quisieras decir enteros no negativos ? Reescribiría el problema para leer “¿Cuál es el número de soluciones triples de números enteros positivos para [matemáticas] (x + 1) + (y + 1) + (z + 1) = (7 + 3) [/ matemáticas]?” Ahora, este es el mismo problema que antes, ya que (x + 1) , (y + 1) y (z + 1) son todos enteros necesariamente positivos. Por lo tanto, haríamos la misma pregunta que en la primera parte, pero con 10 en lugar de 7. Hay (9 elegir 2) formas de dividir 10 estrellas en 3 grupos no vacíos, por lo que hay 36 soluciones triples de números enteros positivos para [ matemáticas] x + y + z = 10 [/ matemáticas]. Por lo tanto, hay 36 soluciones triples enteras no negativas para [matemática] x + y + z = 7 [/ matemática].

Answer 2

Además de otras respuestas, aquí hay un código en haskell para encontrar soluciones (solo por diversión):

[(x, y, z) | x <- [1..7], y <- [1..7], z <- [1..7], x + y + z == 7]

Otra variante con List mónada:

filtro ((== 7). suma) $ replicateM 3 [1..7]

Answer 3

Esta es la clásica pregunta combinatoria de barras y estrellas.

Necesitamos encontrar 3 números, es decir, 3-tuplas de enteros positivos como su suma es 7. Entonces, el número de solución es:

Consulte estrellas y barras (combinatoria)

Answer 4

Esto no es realmente un problema difícil.

Los números naturales son números como 1, 2, …

Entonces, como x, y y z son 1 o más:

si x = 1 y puede ser 1, 2, 3, 4 o 5 z es lo que se necesita para hacer 7

si x es 2 y puede ser 1, 2, 3 o 4 z es lo que se necesita para hacer 7

si x es 3 y puede ser 1, 2 o 3 z es lo que se necesita para hacer 7

si x es 4 y puede ser 1 o 2 z es lo que se necesita para hacer 7

si x es 5 y puede ser 1 z es lo que se necesita para hacer 7

Por lo tanto, hay soluciones 1 + 2 + 3+ 4 + 5

¡Esto es 15!

Answer 5

Cuando X = 1 Y = 1 Z = 5

X = 1 Y = 2 Z = 4

Cuando X = 1 Y = 3 Z = 3

Cuando X = 1 Y = 4 Z = 2

Cuando X = 1 Y = 5 Z = 1

Cuando el valor de X se fija como 1, obtenemos 5 soluciones para la ecuación

Para el valor de X = 2 habrá 4 soluciones

Para X = 3 habrá 3 soluciones

Para X = 4 habrá 2 soluciones

Para X = 5 habrá 1 solución

Para X = 6 no habrá solución (ya que una de las variables tiene que ser 0)

Por lo tanto, el número total de solución a la ecuación es

5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 soluciones