¿Hay alguna manera de calcular fácilmente (x + y) ^ 3?

Answer 1

[matemáticas] {(x + y) ^ n} = \ sum \ limits_ {k = 0} ^ n {\ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} n \\ k \ end { array}} \ right)} {x ^ {n – k}} {y ^ k} [/ math]
En realidad, en https://en.wikipedia.org/wiki/Pa…, puedes obtener algunos conocimientos sobre el triángulo de Pascal. (también llamado como “杨辉 三角” en China)
El triángulo de Pascal determina los coeficientes que surgen en las expansiones binomiales. Por ejemplo, considere la expansión
[matemáticas] {\ left ({x + y} \ right) ^ 2} = {x ^ 2} + 2xy + {y ^ 2} = {\ bf {1}} {x ^ 2} {y ^ 0} + {\ bf {2}} {x ^ 1} {y ^ 1} + {\ bf {1}} {x ^ 0} {y ^ 2}. [/ math]
Observe que los coeficientes son los números en la fila dos del triángulo de Pascal: 1, 2, 1. En general, cuando un binomio como x + y se eleva a una potencia entera positiva tenemos:
[matemáticas] {\ left ({x + y} \ right) ^ n} = {a_0} {x ^ n} + {a_1} {x ^ {n – 1}} y + {a_2} {x ^ {n – 2}} {y ^ 2} + {\ rm {}}… {\ rm {}} + {a_ {n – 1}} x {y ^ {n – 1}} + {a_n} {y ^ n },[/matemáticas]
donde los coeficientes ai en esta expansión son precisamente los números en la fila n del triángulo de Pascal. En otras palabras,
[matemáticas] {a_i} = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} n \\ i \ end {array}} \ right) [/ math] Este es el teorema binomial.

Answer 2

Sí, hay una fácil. De hecho, puede calcular el problema aún más complicado de este género. Pero para eso usted está de acuerdo / aprende que “seleccionar r cosas de un conjunto de n cosas es C (n, r) y C (n, r) = n! / R! * (Nr)!”.

Primero resolveré (x + y) (x + y) (x + y). Estamos de acuerdo en que cada término tendrá tres variables, por ejemplo, xxx o xxy o yyx o yyy Veamos xxx Solo hay una forma de elegir 3x de un conjunto de (x, x, x), es decir, 3! / (3! 0!) = 1. Miremos xxy, hay C (3,2) = 3 formas de elegir dos x de un conjunto de (x, x, x). Del mismo modo, también podemos calcular coeficientes de otros términos. Entonces x ^ 3 + 3 * x ^ 2 * y + 3 * x * y ^ 2 + y ^ 3.

Ahora usemos este método en un problema complicado para encontrar digamos (v + w + x + y + z) ^ 2 = C (2,2) * (v ^ 2 + w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) + C (2,1) * (v (w + x + y + z)) +

C (2,1) * (w (v + x + y + z)) +

C (2,1) * (x (v + w + y + z)) +

C (2,1) * (y (v + w + x + z)) +

C (2,1) * (z (v + w + x + y))

Answer 3

Hay tres métodos para hacer esto …

# 1: expandiéndolo

[matemáticas] (x + y) ^ 3 = (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x + y) [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + y ^ 3 [/ matemáticas]

# 2: Teorema binomial

Recuerde que el teorema del binomio es [matemáticas] (x + y) ^ n = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ n \ dbinom {n} {i} x ^ {ni} y ^ i [/ matemáticas]

Usando esa fórmula podemos hacer esto,

[matemáticas] (x + y) ^ 3 = \ dbinom {3} {0} x ^ {3 – 0} y ^ 0 + \ dbinom {3} {1} x ^ {3 – 1} y ^ 1 + \ dbinom {3} {2} x ^ {3 – 2} y ^ 2 + \ dbinom {3} {3} x ^ {3 – 3} y ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + y ^ 3 [/ matemáticas]

# 3: Usando el Triángulo de Pascal

Si recuerda que la tercera fila del Triángulo de Pascal es 1 3 3 1, puede sustituirla para obtener la respuesta que es …

[matemáticas] x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + y ^ 3 [/ matemáticas]

Answer 4

Encantadora, expansión de binomios, explorada por Blaise Pascal por primera vez. (¿Has oído hablar del triángulo de Pascal? Gran manera simple de expandir y simplificar polinomios) El triángulo de Pascal dice que los coeficientes de (x + y) ^ x forman un patrón en forma de triángulo que se ve así:

1 (x + y) ^ 0

1 1 (x + y) ^ 1

1 2 1 (x + y) ^ 2

1 3 3 1 (x + y) ^ 3

Entonces, desde el triángulo, podemos deducir que los coeficientes de la solución van a ser 1, 3, 3 y 1. Para expandir los corchetes, simplemente use la expansión de (x + y) ^ 2 y multiplique por (x + y) porque:

(x + y) ^ 3

= (x + y) (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)

Para expandir, uno debe multiplicar todo en el segundo paréntesis, por x e y así.

= x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) + y (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)

Que es igual a:

= x ^ 3 + 2x ^ 2y + xy ^ 2 + x ^ 2y + 2xy ^ 2 + y ^ 3

Ahora los corchetes se expanden, recopilamos términos similares:

= x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + y ^ 3

Aquí, puede ver que los coeficientes son los mismos que los del triángulo. Para expandir las siguientes capas del triángulo como (x + y) ^ 4, solo complete la siguiente capa del triángulo, notando que cada número en el patrón es igual a la suma de los dos que están arriba. (Si no lo obtiene, hay muchos enlaces excelentes en línea sobre el patrón y las expansiones).

Feliz matemática 🙂

Answer 5

En lugar de recordar la fórmula para [matemáticas] (x + y) ^ 3 [/ matemáticas], te sugiero que intentes recordar una fórmula para la expansión binomial. Luego le permitirá gastar cualquier expresión binomial sin tener que recordar atajos para cada uno de ellos.

Answer 6

Triángulo de Google Pascal y usa las proporciones para expandir el polinomio. Para (x + y) ^ 3, miraría la tercera fila en el Triángulo de Pascal con valores de 1 3 3 1, por lo que la forma expandida sería 1x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 1y ^ 3.

Answer 7

La manera más fácil es recordar los poderes de 11. Si conocía el tercer poder de 11, puede expandir fácilmente la expresión. Una regla clave que debe recordar al expandir es que los poderes más altos de x e y son 3 y los coeficientes de ambos x ^ 3 e y ^ 3 es 1.

Ahora para n = 3 (11) ^ 3 = 1 3 3 1 Ahora la potencia más alta es 3, disminuya en 1 y obtenga 2 conecte esta potencia con xy para que pueda ser x ^ 2.y o xy ^ 2 para que pueda ser el término x ^ 2y + xy ^ 2

Ahora hay dos coeficientes que están conectados a estos dos términos como 3 (x ^ 2y + xy ^ 2)

Ahora la expansión completa

(x + y) ^ 3 = (x) ^ 3 + 3 ((x) ^ 2y + x (y) ^ 2)) + (y) ^ 3

Voila!