¿Qué significan estas ecuaciones y cómo dicen que la luz es una onda?

Pensemos en una función de onda unidimensional de la forma [math] f (x, t) = \ sin (\ omega x + vt) [/ math]. Manteniendo [math] t [/ math] constante y trazando esta función en el plano xy, vemos que es una función de onda con longitud de onda [math] 2 \ pi / \ omega [/ math]. Además, vemos que se propaga con una velocidad de [matemáticas] c = v / \ omega [/ matemáticas].

Una propiedad de esta función de onda es que sus segundas derivadas parciales se parecen a la función misma. (Esto sucederá con cualquier superposición de ondas sinusoidales). Más precisamente, observe lo siguiente:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial t ^ 2} f (x, t) = -v ^ 2 f (x, t) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} f (x, t) = – \ omega ^ 2 f (x, t) [/ math]

Como se puede ver fácilmente en estas relaciones, nuestra función de onda satisface la siguiente PDE:

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {1} {\ omega ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} – \ frac {1} {v ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ parcial t ^ 2} \ derecha) f (x, t) = 0 [/ matemática]

Podemos multiplicar ambos lados por [matemática] v ^ 2 [/ matemática] y sustituir para obtener

[matemáticas] \ displaystyle \ left (c ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} – \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial t ^ 2} \ right) f (x, t ) = 0 [/ matemáticas]

El operador laplaciano [math] \ nabla ^ 2 [/ math] es simplemente la suma de las segundas derivadas con respecto a las coordenadas espaciales, por lo que la ecuación anterior es en realidad la misma ecuación que esta.

Cuando Maxwell originalmente derivó esta ecuación de su formulación de electromagnetismo, el coeficiente del laplaciano no era [matemática] c ^ 2 [/ matemática], sino [matemática] 1 / \ mu_0 \ epsilon_0 [/ matemática]. Al reconocer esta ecuación como una forma de onda, Maxwell vio que la velocidad de estas ondas electromagnéticas tenía que ser [matemática] 1 / \ sqrt {\ mu_0 \ epsilon_0} [/ matemática], como en nuestro ejemplo. Como este valor coincidía numéricamente con las mediciones de la velocidad de la luz, Maxwell concluyó que la luz debe ser una onda electromagnética.