Si [math] x [/ math] es primo, ¿cuál es el valor de [math] p [/ math] en [math] (x-1)! \ equiv p \ mod x [/ math]?

Answer 1

Esta relación es una consecuencia del hecho de que el conjunto [math] \ mathbb {F} _p = \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} [/ math] es un campo para [math] p \ in \ mathbb { P} [/ matemáticas]. En términos elementales, decimos que cada elemento en [math] \ mathbb {F} _p [/ math] tiene un inverso multiplicativo, con la excepción de [math] 0 [/ math].

Para probar este resultado, tenemos que mostrar que para cada elemento [math] x \ in \ mathbb {F} _p – \ {0 \} [/ math], hay un elemento [math] y \ in \ mathbb {F } _p [/ math] tal que [math] xy = 1 [/ math] o [math] xy \ equiv 1 \ pmod {p} [/ math]. Esto es equivalente a la afirmación de que podemos encontrar algunos enteros [matemática] k [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] tal que [matemática] xy – kp = 1 [/ matemática]. Tenga en cuenta que [math] \ gcd (x, p) = 1 [/ math] como [math] p [/ math] es primo. Entonces, la identidad de Bezout implica inmediatamente que se pueden encontrar esos enteros. (Para mantener esta respuesta concisa, omito la prueba de la identidad de Bezout. El lector puede leer el bosquejo de prueba proporcionado por Wikipedia si está interesado).

Además, tenga en cuenta que [matemática] x ^ 2 = 1 [/ matemática] implica [matemática] x = 1, \, p-1 [/ matemática], nuevamente debido al hecho de que [matemática] p [/ matemática] es principal. Esto significa que los únicos elementos que son sus propios inversos son [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] p-1 [/ matemática].

Ahora, considere el producto [math] 2 \ cdot 3 \ ldots \ cdot (p-2) = f (p) [/ math]. Como cada elemento en [math] \ mathbb {F} _p [/ math] distinto de 0, 1 y p-1 tiene un inverso multiplicativo que no es igual a sí mismo, vemos que cada término en este producto tiene un inverso multiplicativo que está nuevamente presente en este producto. Esto implica que este producto es igual a [math] 1 [/ math] en el campo [math] \ mathbb {F} _p [/ math]. Por lo tanto, tenemos eso

[matemáticas] (p-1)! = (p-1) \ cdot f (p) \ cdot 1 = p-1 [/ math]

en [math] \ mathbb {F} _p [/ math], o en lenguaje aritmético modular familiar, [math] (p-1)! \ equiv -1 \ pmod {p} [/ math].

Answer 2

Lema : let [math] \ mathrm {P} [/ math] [math]: = \ {1,2, …, p-1 \} [/ math]. Se puede demostrar que este conjunto es un grupo abeliano [1], y que es cíclico (proporciono el enlace de una prueba más detallada aquí [2]).

Como el grupo es cíclico, existe un módulo generador [matemático] p [/ matemático], es decir, un número entero [matemático] g [/ matemático] tal que [matemático] 0

Por lo tanto, podemos reescribir [math] (p-1)! [/ Math] como [math] g \ cdot {g ^ 2} \ cdot {g ^ 3} \ cdot {…} \ cdot {g ^ {p-1 }} = g ^ {1 + 2 +… + p-1}. [/ math]

Como [math] \ sum_ {k = 1} ^ {p-1} k = \ frac {p (p-1)} {2} [/ math] podemos reescribir [math] g ^ {1 + 2 + … + p-1} [/ math] como [math] g ^ {\ frac {p (p-1)} {2}} [/ math].

Según el pequeño teorema de Fermat, si [math] p [/ math] es un número primo, entonces [math] a ^ p \ equiv {a} [/ math] mod [math] (p) [/ math], por lo tanto [math ] g ^ {\ frac {p (p-1)} {2}} = {\ left (g ^ {\ frac {p-1} {2}} \ right)} ^ p \ equiv {g ^ {\ frac {p-1} {2}}} [/ math] mod [math] (p) [/ math].

Dado que [math] g \ neq {0} [/ math] mod [math] (p) [/ math], según el pequeño teorema de Fermat [math] g ^ {p-1} \ equiv {1} [/ math] mod [matemática] (p) [/ matemática] [matemática] \ Rightarrow {\ left (g ^ {\ frac {p-1} {2}} + 1 \ right) {\ left (g ^ {\ frac {p- 1} {2}} – 1 \ right)} \ equiv {0}} [/ math] mod [math] (p) [/ math].

Por lo tanto, [matemática] g ^ {\ frac {p-1} {2}} \ equiv {\ pm {1}} [/ matemática] mod [matemática] (p) [/ matemática], pero [matemática] g ^ { p-1} \ equiv {1} [/ math] mod [math] (p) [/ math], entonces [math] g ^ {\ frac {p-1} {2}} [/ math] no puede ser [ matemática] 1 [/ matemática] módulo [matemática] p [/ matemática] porque [matemática] \ forall {a, b

Por lo tanto, [math] (p-1)! \ Equiv {g ^ {\ frac {p-1} {2}}} \ equiv {-1} [/ math] mod [math] (p) [/ math]. Esto prueba el teorema.

Notas al pie

[1] Grupo abeliano – Wikipedia

[2] http://www.math.uconn.edu/~kconr …

Answer 3

Esto es cierto y poco interesante para p = 2 ..
Cuando p es impar, ¡miramos la factorización de (p − 1)! = 1 · 2 · 3 ··· (p − 2) (p − 1).
Excepto por los factores extremos 1 y (p − 1) (≡ − 1modp), los factores se emparejan en números y su mod inverso p. Cualquiera de estos pares se multiplica a 1 mod p.
Entonces, todo el producto es congruente con 1 · (p – 1) ≡ − 1 (mod p).

Answer 4

Echa un vistazo a https://en.m.wikipedia.org/wiki/ …

Answer 5

El teorema de Wilson dice que p es -1