Cálculo: ¿Cómo puedo encontrar la integral [matemáticas] \ int \ frac5 {(x-1) (x ^ 2 + 4)} \, dx [/ matemáticas]?

Answer 1

Las respuestas existentes cubren muy bien la técnica más fácil (descomposición del integrando en dos fracciones parciales, [matemáticas] \ frac {A} {x-1} + \ frac {Bx + C} {x ^ 2 + 4} [/ matemáticas ]). Lo que sigue es un método diferente para resolver el problema, basado en una descomposición de fracción parcial completa. Esto está a un lado, y ligeramente por encima del alcance de un curso de cálculo típico.

[matemáticas] \ int {\ frac {5} {(x-1) \ left (x ^ 2 + 4 \ right)}} = \ int {\ frac {5} {(x-1) (x + 2i) (x-2i)} dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int {\ frac {A} {x-1} + \ frac {B} {x + 2i} + \ frac {C} {x-2i} dx} [/ matemáticas]

Por lo tanto, multiplicar por el denominador deja:

[matemáticas] 5 = A (x + 2i) (x-2i) + B (x-1) (x-2i) + C (x-1) (x + 2i) [/ matemáticas]

Si [matemática] x = 1 [/ matemática], entonces [matemática] 5 = A (1 + 2i) (1-2i) [/ matemática], entonces [matemática] 5 = 5A [/ matemática], lo que significa que [ matemáticas] A = 1 [/ matemáticas].

Si [matemáticas] x = -2i [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 5 = B (-1-2i) (- 4i) [/ matemáticas], entonces [matemáticas] B = \ frac {5} {(- 1 -2i) (- 4i)} = \ frac {5 (-1 + 2i) (4i)} {5 (16)} = \ frac {-2-i} {4} [/ matemáticas].

Si [matemática] x = 2i [/ matemática], entonces [matemática] 5 = C (-1 + 2i) (4i) [/ matemática], entonces [matemática] B = \ frac {5} {(- 1 + 2i ) (4i)} = \ frac {5 (-1-2i) (- 4i)} {5 (16)} = \ frac {-2 + i} {4} [/ math].

Por lo tanto, [matemáticas] \ frac {5} {(x-1) (x + 2i) (x-2i)} = \ frac {1} {x-1} + \ frac {\ left (\ frac {-2 -i} {4} \ right)} {x + 2i} + \ frac {\ left (\ frac {-2 + i} {4} \ right)} {x-2i} [/ math], y por lo tanto:

[matemáticas] \ int {\ frac {5} {(x-1) (x + 2i) (x-2i)} dx} = \ int {\ frac {1} {x-1} + \ frac {\ left (\ frac {-2-i} {4} \ right)} {x + 2i} + \ frac {\ left (\ frac {-2 + i} {4} \ right)} {x-2i} dx} [/matemáticas]

[matemáticas] = \ ln (x-1) + \ left (\ frac {-2-i} {4} \ right) \ ln (x + 2i) + \ left (\ frac {-2 + i} {4 } \ right) \ ln (x-2i) + C [/ math]

para una forma completamente diferente de la respuesta final que la obtenida de los métodos habituales. Curiosamente, al establecer estas dos respuestas iguales entre sí, se puede encontrar una relación entre las funciones trigonométricas y logarítmicas inversas. Uno podría usar una relación como esta para definir el logaritmo complejo, y luego definir la función exponencial compleja usando esto.

Answer 2

Debe usar el método de fracción parcial dejando [matemáticas] \ frac {5} {(x-1) (x ^ 2 + 4)} = \ frac {A} {x-1} + \ frac {B x + C } {x ^ 2 +4} [/ matemática] con coeficientes indeterminados [matemática] A, B, C [/ matemática], observando que [matemática] x ^ 2 +4 [/ matemática] no es factorizable en [matemática] { \ mathbb R} [x] [/ math] como [math] x ^ 2 + 4 [/ math] no tiene una raíz real en números reales.

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales con respecto a las variables A, B, C, tiene una suma de dos fracciones como integrando entonces, que ahora es sencillo usar la función logarítmica y la función tangente inversa para finalizar el cálculo.

En lugar de resolver el sistema, puede usar algunos trucos para obtener las soluciones para A, B, C, más fácilmente. Pero, te lo dejaría a ti.

Answer 3

Déjame aumentar un poco la respuesta de Yuanyou Fred Cheng

Usando su notación, siempre puede encontrar el coeficiente para un término lineal simple como [math] \ frac {A} {x-1} [/ math] mediante el siguiente truco:

• multiplique ambos lados por el denominador del término lineal (en este caso [matemática] x-1 [/ matemática])
• después de simplificar, sustituya el valor anteriormente singular de [math] x [/ math], en este caso [math] x = 1 [/ math]

En este caso, aprendemos rápidamente que [matemáticas] A = 1 [/ matemáticas]

Después de eso, encontramos fácilmente la [matemática] B = -1 [/ matemática] y [matemática] C = -1 [/ matemática]

Entonces tenemos que integrar

[matemáticas] \ frac {1} {x-1} – \ frac {x} {x ^ 2 + 4} – \ frac {1} {x ^ 2 + 4} [/ matemáticas]

Los dos primeros términos son logaritmos. El tercer término debe ser reconocible como un arcotangente (o usar una sustitución [matemática] x = 2 \ tan {\ theta} [/ matemática])

Answer 4

Usando fracciones parciales y un poco de factorización, debe llegar rápidamente al formulario

[matemáticas] – \ displaystyle \ int \ \ dfrac {x} {x ^ 2 \ + \ 4} \ dx \ – \ \ dfrac {1} {4} \ displaystyle \ int \ \ dfrac {1} {\ dfrac { x ^ 2} {4} \ +1} \ dx \ + \ displaystyle \ int \ \ dfrac {1} {x \ – \ 1} dx [/ math]

Como han señalado los otros carteles, la respuesta será una suma de registros y funciones [math] tan ^ {- 1} [/ math].

Cf: Matemática interactiva: integración por fracciones parciales

Answer 5

[matemáticas] – \ int \ dfrac {5} {(1-x) (4 + x ^ 2)} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ int \ dfrac {1-x ^ 2 + 4 + x ^ 2} {(1-x) (4 + x ^ 2)} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ int \ dfrac {1 + x} {4 + x ^ 2} + \ dfrac {1} {1-x} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ int \ dfrac {1} {4 + x ^ 2} + \ dfrac {x} {4 + x ^ 2} \, dx + \ ln (1-x) [/ math]

[matemáticas] – \ int \ dfrac {x} {4 + x ^ 2} \, dx + \ dfrac {1} {2} \ arctan \ dfrac {x} {2} + \ ln (1-x) [/ math ]

[matemáticas] x ^ 2 = u [/ matemáticas]

[matemáticas] 2x \, dx = du [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ dfrac {1} {2} \ int \ dfrac {1} {4 + u} \, du + \ dfrac {1} {2} \ arctan \ dfrac {x} {2} + \ ln (1 -x) [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ dfrac {1} {2} \ ln (4 + u) + \ dfrac {1} {2} \ arctan \ dfrac {x} {2} + \ ln (1-x) [/ math]

[matemáticas] – \ dfrac {1} {2} \ ln (4 + x ^ 2) + \ dfrac {1} {2} \ arctan \ dfrac {x} {2} + \ ln (1-x) + C [/matemáticas]

Answer 6

Podemos evaluar esta integral utilizando fracciones parciales. Lo bueno de esta integral es que ya está factorizado para nosotros.

[matemáticas] \ begin {align} \ text {Let} I & = \ displaystyle \ int \ dfrac {5} {(x – 1) (x ^ 2 + 4)} dx \\ & = \ displaystyle \ int \ dfrac { A} {x – 1} + \ dfrac {Bx + C} {x ^ 2 + 4} dx \\ & \ hline \ text {Lo configuramos como:} \\ 5 & = A (x ^ 2 + 4) + (Bx + C) (x – 1) \\ & \ text {When} x = 1: 5 = 5A \ implica \ boxed {A = 1} \\ & \ text {Ahora, expandimos:} \\ 5 & = Ax ^ 2 + 4A + Bx ^ 2 – Bx + Cx – C \\ & \ text {Agrupamos términos y factores:} \\ 5 & = (A + B) x ^ 2 + (-B + C) x + ( 4A – C) \\ & \ text {La constante en LHS DEBE ser igual a constante en RHS:} \\ & 5 = 4A – C \ implica 5 = 4 – C \ implica \ boxed {C = -1} \\ & \ por lo tanto 0 = -B + C \ implica 0 = -B – 1 \ implica \ boxed {B = -1} \\\ hline I & = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x – 1} + \ dfrac {-x – 1} {x ^ 2 + 4} dx \ implica \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x – 1} – \ dfrac {x} {x ^ 2 + 4} – \ dfrac {1} {x ^ 2 + 4} dx \\ & = \ underbrace {\ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x – 1} dx} _ {\ text {u – Substitution}} – \ underbrace {\ displaystyle \ int \ dfrac {x} {x ^ 2 + 4} dx} _ {\ text {t – Substitución}} – \ dfrac {1} {4} \ underbrace {\ displaystyle \ int \ dfrac {1} {(\ fr ac {x} {2}) ^ 2 + 1} dx} _ {\ text {a – sustitución}} \\ & \ hline \ text {Let} u = x – 1 \ implica du = dx \\ & \ text {Let} t = x ^ 2 + 4 \ implica dt = 2x dx \ implica dx = \ dfrac {dt} {2x} \\ & \ text {Let} a = \ dfrac {x} {2} \ implica da = \ dfrac {1} {2} dx \ implica dx = 2 da \\\ hline I & = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {u} du – \ displaystyle \ int \ dfrac {x} {t} \ dfrac { dt} {2x} – \ dfrac {1} {4} \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {a ^ 2 + 1} \ cdot 2 da \\ & = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {u} du – \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {t} dt – \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {a ^ 2 + 1} da \ \ & = \ ln \ left | u \ right | – \ dfrac {1} {2} \ ln \ left | t \ right | – \ dfrac {1} {2} \ arctan (a) \\ I & = \ boxed {\ boxed {\ ln \ left | x – 1 \ derecha | – \ dfrac {1} {2} \ ln \ left (x ^ 2 + 4 \ right) – \ dfrac {1} {2} \ arctan \ left (\ frac {x} {2} \ right) + C} } \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Nota: excluí el valor absoluto en el segundo registro natural porque siempre será positivo debido a [math] x ^ 2 [/ math], por lo que es inútil usarlos.

Answer 7

La respuesta de Fred Cheng fue estándar y así es como se debe abordar la pregunta. Pero no me gusta equiparar las cosas con otra. Aunque mi método no es muy diferente al de Fred Cheng. El numerador tiene un 5, ya que es una constante, lo tomamos fuera de la integral El numerador ahora contiene un 1 dentro de la integral

Sustituir 5 = ((x) ^ 2 + 4- (x) ^ 2-1))

Entonces, ahora la integral se convierte en

Integral de ((x) ^ 2 + 4- (x) ^ 2-1)) / (x-1) ((x) ^ 2 + 4)

Cancelar los términos comunes que tenemos

Integral (1 / (x-1) – (x + 1) / (x) ^ 2 + 4)

Entonces la respuesta es

log (1-x) -1/2 (log ((x) ^ 2 + 4) +1/2 (tan-1 (x / 2)) + C Por lo tanto encontrado

Answer 8

Este es uno de los ejemplos que da lugar a fracciones parciales. Encuentre los coeficientes de las tres fracciones 1 / (x-1), 1 / (x ^ 2 + 4) y 2x / (x ^ 2 + 4). La integral de la primera de ellas es ln (x-1), la tercera es ln (x ^ 2 + 4) y la segunda produce una sustitución tangente. Los coeficientes se pueden encontrar resolviendo algunas ecuaciones.

Answer 9

Usamos fracción parcial

Answer 10

Primero tiene que resolver la fracción parcial y luego felicitarla, al final de su integración no olvide agregar una constante que no tiene límite