Cómo integrar la raíz cuadrada de (x ^ 2 + 16) / x ^ 4 dx de x = 1 a x = 3

Answer 1

[matemáticas] \ int_1 ^ 3 \ dfrac {\ sqrt {x ^ 2 + 16}} {x ^ 4} dx [/ matemáticas]; Poner [matemáticas] x = 4 \ sinh t [/ matemáticas]; [matemáticas] dx = 4 \ cosh t dt [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {16} \ int _ {\ sinh ^ {- 1} \ frac {1} {4}} ^ {\ sinh ^ {- 1} \ frac {3} {4}} \ dfrac {\ cosh ^ 2 t} {\ sinh ^ 2 t} dt [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {16} \ int (\ csch ^ 2 t \ coth ^ 2 t) dt [/ matemáticas]

= – [matemáticas] \ dfrac {csch ^ 3 t} {48} | _ {\ sinh ^ {- 1} \ frac {1} {4}} ^ {\ sinh ^ {- 1} \ frac {3} { 4}} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ dfrac {(1+ \ sinh ^ 2 t) ^ {\ frac {3} {2}}} {48 \ sinh ^ 3 t} | _ {\ sinh ^ {- 1} \ frac {3 } {4}} ^ {\ sinh ^ {- 1} \ frac {1} {4}} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {48} \ left (\ dfrac {(1+ \ frac {1} {16}) ^ {\ frac {3} {2}}} {(\ frac {1} { 4}) ^ 3} – \ dfrac {(1+ \ frac {9} {16}) ^ {\ frac {3} {2}}} {(\ frac {3} {4}) ^ 3} \ right )[/matemáticas]

[math] = \ boxed {\ dfrac {459 \ sqrt {17} -125} {1296}} [/ math]

Answer 2

No puedo darle la fórmula definitiva, pero hay métodos numéricos para hacerlo.

En caso de que tenga acceso a una computadora o tenga mucho tiempo libre, puede probar la regla del trapecio para obtener una solución aproximada que sea muy precisa (con una precisión que aumenta con más intervalos).

Answer 3

Sea u = x ^ 2 + 16

du / dx = 2x

dx = 1 / 2x du

3 ^ 2 + 16 = 25 (límite superior) 1 ^ 2 + 16 = 17 (límite inferior) – Todos los términos ahora estarán en u

integrar sqrt (u) / x ^ 4 * 1 / 2x (du) entre 17 y 25

simplifica como 1 / 2x ^ 5 (integral de sqrt u du) entre 17 y 25

Integra sqrt u como 2/3 (u) ^ 3/2 y sustituye u nuevamente en 2/3 (x ^ 2 + 16) ^ 3/2

Multiplique por 1 / 2x, y la respuesta final es 2/3 (x ^ 2 + 16) ^ 3/2 * 1 / 2x

Answer 4

Deje [math] \ displaystyle x = \ frac {1} {t} [/ math]

Entonces [matemáticas] \ displaystyle dx = – \ frac {1} {t ^ 2} dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int {\ dfrac {\ sqrt {x ^ 2 + 16}} {x ^ 4}} dx = – \ int {t \ sqrt {1 + 16t ^ 2}} dt [/ math]

Deje [matemáticas] u = 1 + 16t ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] du = 32t dt [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow t dt = \ frac {du} {32} [/ math]

[matemática] = \ displaystyle – \ int {\ frac {1} {32} \ sqrt {u}} du [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle – \ frac {1} {48} u ^ {\ frac {3} {2}} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle – \ frac {1} {48} (1 + 16t ^ 2) ^ {\ frac {3} {2}} + C [/ matemáticas]

[matemática] = \ displaystyle – \ frac {1} {48} \ izquierda (1+ \ frac {16} {x ^ 2} \ derecha) ^ {\ frac {3} {2}} + C [/ matemática]

[matemáticas] = \ displaystyle – \ frac {1} {48} \ left (1+ \ frac {16} {3 ^ 2} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} + \ frac {1} {48} \ left (1+ \ frac {16} {1 ^ 2} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} [/ math]

[matemática] = \ displaystyle \ left (\ frac {17 \ sqrt {17} – \ frac {125} {27}} {48} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ left (\ frac {459 \ sqrt {17} -125} {1296} \ right) [/ math]

Answer 5

Symbolab Math Solver puede responder muy bien a este tipo de preguntas: calculadora paso a paso

Aquí hay un enlace directo a su problema específico explicado paso a paso

integral (1 a 3 \) frac {sqrt (x ^ 2 + 16) dx} {x ^ 4} – Calculadora integral – Symbolab

Esperemos que esto sea lo suficientemente largo para el bot 🙂

Answer 6

Puede intentar diferenciar [matemáticas] x ^ \ alpha (x ^ 2 + 16) ^ \ beta; [/ matemáticas] que da:

[matemáticas] \ alpha x ^ {\ alpha-1} (x ^ 2 + 16) ^ \ beta + 2 \ beta x ^ {\ alpha + 1} (x ^ 2 + 16) ^ {\ beta-1} = x ^ {\ alpha-1} (x ^ 2 + 16) ^ {\ beta-1} [(\ alpha + 2 \ beta) x ^ 2 + 16 \ alpha] [/ matemáticas]

Esto muestra que la pregunta se estableció exactamente para ese propósito, porque su pregunta corresponde a [math] \ alpha = -3 [/ math] y [math] \ beta = 3/2 [/ math], valores para los cuales el último El factor de la expresión anterior es una constante.

Entonces, con estos valores [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math], terminamos con el hecho de que la función que desea integrar es la derivada de [math] – (x ^ 2 + 16) ^ {3/2} / 48x ^ 3 [/ math], lo que conduce a:

[matemáticas] \ int_1 ^ 3 \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + 16}} {x ^ 4} dx = \ left [- \ frac {(x ^ 2 + 16) ^ {3/2}} {48x ^ 3} \ right] _1 ^ 3 = – \ frac {125} {1296} + \ frac {17 ^ {3/2}} {48} [/ math]

Answer 7

[matemáticas] \ int {\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + 16}} {x ^ 4} dx} [/ matemáticas]

Ok, no me preguntes cómo encontré esto.

Sustituir:

[matemáticas] t = \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + 16}} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] dt = \ left ({\ frac {2x ^ 2} {2x ^ 2 \ sqrt {x ^ 2 + 16}} – \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + 16}} {x ^ 2}} \ right) dx [/ math]

(moler … moler … moler …)

[matemáticas] dt = \ frac {-16} {x ^ 2 \ sqrt {x ^ 2 + 16}} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] dt = \ frac {-16} {x ^ 3t} dx [/ matemáticas]

Esto transforma la integral en:

[matemáticas] \ frac {-1} {16} \ int {t ^ 2 dt} [/ matemáticas]

Puedes tomarlo desde aquí. Obtienes la misma respuesta que Awnon obtuvo por un método más simple.

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Otro método:

Sustituya [matemáticas] x = 4 \ tan t [/ matemáticas], [matemáticas] dx = 4 \ seg ^ 2 t dt [/ matemáticas]

Esto lleva a [matemáticas] \ frac {1} {16} \ int {\ frac {\ cos t} {\ sin ^ 4 t} dt} [/ matemáticas]

Luego sustituya [matemáticas] u = \ sin t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {16} \ int {\ frac {du} {u ^ 4}} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {1} {48} \ left (\ csc {\ arctan {\ frac {x} {4}}} \ right) ^ 3 [/ math]

Answer 8

Un enfoque diferente…

Cada vez que veo la raíz cuadrada de una suma / diferencia de cuadrados, siempre voy a ir a la sustitución trigonométrica. Puede que no sea la ruta más eficiente, pero es la más confiable. (Ver la respuesta de Jered Wasburn-Moses a ¿Cómo puedo integrar [matemáticas] \ frac {1} {x ^ 2 \ sqrt {x ^ 2 + 4}} [/ matemáticas]?)

Usando el método descrito anteriormente, obtengo [math] x = 4 \ tan \ theta [/ math], [math] 4 \ sec ^ 2 \ theta \; d \ theta = dx [/ math] y [math] \ sqrt {x ^ 2 + 16} = 4 \ sec \ theta [/ math]. Esto nos da la nueva integral

[matemáticas] \ displaystyle \; \ int _ {\ tan ^ {- 1} \ frac 14} ^ {\ tan ^ {- 1} \ frac 34} \ frac {4 \ sec \ theta} {4 ^ 4 \ tan ^ 4 \ theta} \ cdot 4 \ sec ^ 2 \ theta \; d \ theta [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {4 ^ 2} \ int _ {\ tan ^ {- 1} \ frac 14} ^ {\ tan ^ {- 1} \ frac 34} \ cot \ theta \, \ csc ^ 3 \ theta \; d \ theta [/ math].

Ahora una sustitución más: [math] u = \ csc \ theta [/ math], [math] du = – \ cot \ theta \ csc \ theta \; d \ theta [/ math], para obtener

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {4 ^ 2} \ int _ {\ frac 53} ^ {\ sqrt {17}} u ^ 2 \; du [/ math].

Este es fácil. 🙂