Lo siguiente contiene [math] \ forall k \ in \ mathbb {N} [/ math],
[matemáticas] \ begin {eqnarray *} & k ^ 2 \ geq k \\ \ leftrightarrow & 4k ^ 2 \ geq 3k ^ 2 + k \\ \ leftrightarrow & \ displaystyle \ frac {1} {4k ^ 2} \ leq \ frac {1} {3k ^ 2 + k} \\ \ leftrightarrow & \ displaystyle \ left (1- \ frac {1} {2k} \ right) ^ 2 \ leq 1+ \ frac {1} {3k ^ 2 + k} – \ frac {1} {k} \\ \\ \ leftrightarrow & \ displaystyle \ left (1- \ frac {1} {2k} \ right) ^ 2 \ leq 1- \ frac {3} {3k +1} \\ \ leftrightarrow & \ displaystyle \ left (\ frac {2k-1} {2k} \ right) ^ 2 \ leq \ frac {3 (k-1) + 1} {3k + 1} \\ \ flecha izquierda y \ displaystyle \ left (\ frac {2k-1} {2k} \ right) \ leq \ frac {\ sqrt {3 (k-1) + 1}} {\ sqrt {3k + 1}} \ end { eqnarray *} [/ math]
Por lo tanto, cuando ponemos [math] k = 1 [/ math] arriba, obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ leq \ frac {1} {\ sqrt {4}} \ \ \ \ ldots (1) [/ math]
- Cómo evaluar el límite [matemática] \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac {n!} {N ^ n} \ right) ^ {1 / n} [/ math]
- ¿Por qué es [matemáticas] \ sqrt {\ frac {(X_1- \ overline {X}) ^ 2+ \ cdots + (X_n- \ overline {X}) ^ 2} {N-1}} \ ne \ frac {| X_1 – \ overline {X} | + \ cdots + | X_n- \ overline {X} |} {N-1} [/ math]?
- Si (x ^ 2 – 5x + 5) ^ (x ^ 2 + 4x – 60) = 1, ¿puedes encontrar la suma de todos los valores reales de x?
- ¿Qué es [math] \ int \ frac {dx} {1 – x} [/ math]?
- ¿Cómo se evalúa [math] \ displaystyle I = \ int \ frac {\ mathrm {d} x} {\ sin ^ 3 x + \ cos ^ 3 x} [/ math]?
y [matemáticas] k = 2 [/ matemáticas],
[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {3} {4} \ right) \ leq \ frac {\ sqrt {4}} {\ sqrt {7}} \ \ \ \ ldots (2) [/ math]
y [matemáticas] k = 3 [/ matemáticas],
[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {5} {6} \ right) \ leq \ frac {\ sqrt {7}} {\ sqrt {10}} \ \ \ \ ldots (3) [/ math]
[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]
y [matemáticas] k = n-1 [/ matemáticas],
[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {2 (n-1) -1} {2 (n-1)} \ right) \ leq \ frac {\ sqrt {3 (n-2) + 1}} { \ sqrt {3 (n-1) +1}} \ \ \ \ ldots (n-1) [/ math]
y finalmente, [matemáticas] k = n [/ matemáticas],
[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {2n-1} {2n} \ right) \ leq \ frac {\ sqrt {3 (n-1) + 1}} {\ sqrt {3n + 1}} \ \ \ \ ldots (n) [/ math]
Ahora el producto del LHS de las desigualdades [matemáticas] n [/ matemáticas] anteriores [matemáticas] [(1), (2), \ ldots, (n)] [/ matemáticas] será menor o igual que el producto del RHS de estas desigualdades, esto nos da:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ times \ frac {3} {4} \ times \ cdots \ times \ frac {2n-1} {2n} \ leq \ frac {1} {\ sqrt { 3n + 1}} [/ matemáticas]