Cómo demostrar la desigualdad [matemáticas] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {3} {4} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdots \ frac {2n-1} {2n} \ leq \ frac {1} {\ sqrt {3n + 1}} [/ math] [math] \ forall n \ in \ mathbb {N} [/ math]

Lo siguiente contiene [math] \ forall k \ in \ mathbb {N} [/ math],

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} & k ^ 2 \ geq k \\ \ leftrightarrow & 4k ^ 2 \ geq 3k ^ 2 + k \\ \ leftrightarrow & \ displaystyle \ frac {1} {4k ^ 2} \ leq \ frac {1} {3k ^ 2 + k} \\ \ leftrightarrow & \ displaystyle \ left (1- \ frac {1} {2k} \ right) ^ 2 \ leq 1+ \ frac {1} {3k ^ 2 + k} – \ frac {1} {k} \\ \\ \ leftrightarrow & \ displaystyle \ left (1- \ frac {1} {2k} \ right) ^ 2 \ leq 1- \ frac {3} {3k +1} \\ \ leftrightarrow & \ displaystyle \ left (\ frac {2k-1} {2k} \ right) ^ 2 \ leq \ frac {3 (k-1) + 1} {3k + 1} \\ \ flecha izquierda y \ displaystyle \ left (\ frac {2k-1} {2k} \ right) \ leq \ frac {\ sqrt {3 (k-1) + 1}} {\ sqrt {3k + 1}} \ end { eqnarray *} [/ math]

Por lo tanto, cuando ponemos [math] k = 1 [/ math] arriba, obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ leq \ frac {1} {\ sqrt {4}} \ \ \ \ ldots (1) [/ math]

y [matemáticas] k = 2 [/ matemáticas],

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {3} {4} \ right) \ leq \ frac {\ sqrt {4}} {\ sqrt {7}} \ \ \ \ ldots (2) [/ math]

y [matemáticas] k = 3 [/ matemáticas],

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {5} {6} \ right) \ leq \ frac {\ sqrt {7}} {\ sqrt {10}} \ \ \ \ ldots (3) [/ math]

[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]

y [matemáticas] k = n-1 [/ matemáticas],

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {2 (n-1) -1} {2 (n-1)} \ right) \ leq \ frac {\ sqrt {3 (n-2) + 1}} { \ sqrt {3 (n-1) +1}} \ \ \ \ ldots (n-1) [/ math]

y finalmente, [matemáticas] k = n [/ matemáticas],

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {2n-1} {2n} \ right) \ leq \ frac {\ sqrt {3 (n-1) + 1}} {\ sqrt {3n + 1}} \ \ \ \ ldots (n) [/ math]

Ahora el producto del LHS de las desigualdades [matemáticas] n [/ matemáticas] anteriores [matemáticas] [(1), (2), \ ldots, (n)] [/ matemáticas] será menor o igual que el producto del RHS de estas desigualdades, esto nos da:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ times \ frac {3} {4} \ times \ cdots \ times \ frac {2n-1} {2n} \ leq \ frac {1} {\ sqrt { 3n + 1}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Pi_ {i = 1} ^ {n} \ frac {2i-1} {2i} ≤ \ frac {\ sqrt {3n + 1}} {3n + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ Pi_ {i = 1} ^ {n} {2i-1}} {\ Pi_ {i = 1} ^ {n} 2i} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ Pi_ {i = 1} ^ {n} {i- \ frac {1} {2}}} {\ Pi_ {i = 1} ^ {n} i} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ Pi_ {i = 1} ^ {n} {i- \ frac {1} {2}}} {n!} ≤ \ frac {\ sqrt {3n + 1}} {3n + 1 }[/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n \ ln {(i- \ frac {1} {2})} – \ ln {n!} ≤ \ ln (\ sqrt {3n + 1}) – \ ln {(3n + 1)} [/ matemáticas]

Probar [matemáticas] P_1 [/ matemáticas] es cierto:

LHS:

[matemáticas] \ ln (\ frac {1} {2}) – ln (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ ln (\ frac {1} {2}) [/ matemáticas]

RHS:

[matemáticas] \ ln (\ sqrt {3 \ cdot1 + 1}) – \ ln {(3 \ cdot1 + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln (\ frac {2} {4}) = ln (\ frac {1} {2}) [/ matemáticas]

LHS = RHS por lo tanto [matemáticas] P_1 [/ matemáticas] es cierto.

Asumiendo que [math] P_k [/ math] es verdadero

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ k \ ln {(i- \ frac {1} {2})} – \ ln {k!} ≤ \ ln (\ sqrt {3k + 1}) – \ ln {(3k + 1)} [/ matemáticas]

Prueba [matemática] P_ {k + 1} [/ matemática]

LHS:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {k + 1} \ ln {(i- \ frac {1} {2})} – \ ln {(k + 1)!} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {k} \ ln {(i- \ frac {1} {2})} + \ ln (k + \ frac {1} {2}) – \ ln { k!} – \ ln (k + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] ≤ \ ln (\ sqrt {3k + 1}) – \ ln {(3k + 1)} + \ ln (k + \ frac {1} {2}) – \ ln (k + 1) [/ matemáticas ]

[matemáticas] \ ln (\ sqrt {k ^ 2 (3k + 4) + \ frac {7k + 1} {4}}) – \ ln (k (3k + 4) +1) [/ matemáticas]

RHS:

[matemáticas] \ ln (\ sqrt {3k + 4}) – \ ln {(3k + 4)} [/ matemáticas]

Entonces [math] P_ {k + 1} [/ math] es verdadero cuando [math] P_k [/ math] es verdadero, y ese hecho junto con el hecho de que [math] P_1 [/ math] es verdadero, demuestra que [ matemáticas] P_n [/ matemáticas] es cierto.

Además, convertí el producto en sigma solo por mierdas y risas.

Espera un minuto … ¿no se voltea el signo de desigualdad?

La inducción funciona bien aquí.

Para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas] tenemos,

LHS = [matemáticas] \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas] y

RHS = [math] \ dfrac {1} {\ sqrt {3 \ times 1 + 1}} = \ dfrac {1} {2} [/ math].

Claramente, la relación es válida para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas].

Supongamos que la relación sea verdadera para cualquier [matemática] m \ in \ mathbb {N}. [/ Matemática] Entonces

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ cdot \ dfrac {5} {6} \ cdots \ dfrac {2m-1} {2m} \ leq \ dfrac {1} {\ sqrt {3m + 1}} \; \;… \; \; (1) [/ math]

Mostramos que la desigualdad es válida también para [math] m + 1 [/ math]. Significa que tenemos que demostrar que

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ cdot \ dfrac {5} {6} \ cdots \ dfrac {2m + 1} {2 (m + 1)} \ leq \ dfrac {1} {\ sqrt {3m + 4}} \; \;… \; \; (2) [/ math]

De [matemáticas] (1) [/ matemáticas] tenemos,

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ cdot \ dfrac {5} {6} \ cdots \ dfrac {2m + 1} {2 (m + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ cdot \ dfrac {5} {6} \ cdots \ dfrac {2m-1} {2m} \ cdot \ dfrac {2m +1} {2 (m + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ leq \ dfrac {1} {\ sqrt {3m + 1}} \ cdot \ dfrac {2m + 1} {2 (m + 1)} \; \;… \; \; (3) [/ matemáticas]

Ahora,

[matemáticas] \ dfrac {1} {\ sqrt {3m + 1}} \ cdot \ dfrac {2m + 1} {2 (m + 1)} – \ dfrac {1} {\ sqrt {3m + 4}} [ /matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {(2m + 1) \ sqrt {3m + 4} -2 (m + 1) \ sqrt {3m + 1}} {2 (m + 1) \ sqrt {(3m + 1) ( 3m + 4)}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {\ sqrt {(3m + 4) (2m + 1) ^ 2} – \ sqrt {(3m + 1) (2 (m + 1)) ^ 2}} {2 (m + 1 ) \ sqrt {(3m + 1) (3m + 4)}} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {\ sqrt {12m ^ 3 + 28m ^ 2 + 19m + 4} – \ sqrt {12m ^ 3 + 36m ^ 2 + 20m + 4}} {2 (m + 1) \ sqrt {( 3m + 1) (3m + 4)}} \ leq 0 \; \;… \; \; (4) [/ matemáticas]

De [math] (3) [/ math] y [math] (4), (2) [/ math] sigue.