Si (x ^ 2 – 5x + 5) ^ (x ^ 2 + 4x – 60) = 1, ¿puedes encontrar la suma de todos los valores reales de x?

Answer 1

[matemáticas] \ displaystyle (x ^ 2-5x + 5) ^ {x ^ 2 + 4x-60} = 1 [/ matemáticas]

Sabemos que [matemática] 1 ^ a = 1 [/ matemática] o [matemática] b ^ 0 = 1 [/ matemática] o [matemática] (- 1) ^ {2c} = 1 [/ matemática]

Por lo tanto,

[matemáticas] x ^ 2-5x + 5 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2-5x + 4 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x-4) (x-1) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {x = 4,1} [/ matemáticas]

O

[matemáticas] x ^ 2 + 4x-60 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x-6) (x + 10) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {x = -10,6} [/ matemáticas]

O

[matemáticas] x ^ 2-5x + 5 = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2-5x + 6 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x-3) (x-2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {x = 2,3} [/ matemáticas]

---

[matemática] 2 [/ matemática] satisfará pero no [matemática] 3 [/ matemática] porque el poder será impar

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[matemáticas] x = \ {- 10,1,2,4,6 \} [/ matemáticas]

Suma [matemáticas] = 3 [/ matemáticas]

Por lo tanto, la opción a) 3 es correcta

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¡Corrigiste pero cometiste un error al factoraje!

¿Por qué están usando log si las cosas ya son simples!

También te perdiste el tercer caso

¡Espero eso ayude!

Answer 2

A2A, perdón por la respuesta tardía

Sus pasos son correctos, pero su solución no está completa.

Has asumido que [matemáticas] x ^ 2 -5x + 5> 0 [/ matemáticas]

Pero el discriminante de la desigualdad cuadrática anterior es mayor que 0, por lo que el supuesto anterior no es cierto para todos [matemática] x \ in \ R [/ matemática]

Por lo tanto, debe considerar la otra parte en la solución, por ejemplo:

[matemáticas] x ^ 2 -5x + 5 <0 [/ matemáticas] o precisamente [matemáticas] x ^ 2 -5x + 5 = -1 [/ matemáticas]

Vea el gráfico a continuación:

Ocurre en 2 puntos, 2 y 3. Agregue esos dos puntos a la solución.