Dado que la función [math] \ displaystyle \ frac {1} {1-x} [/ math] aparece como [math] \ displaystyle \ frac {1} {x} [/ math] (que se integra a [math] \ ln x [/ math]), podemos adivinar [math] \ ln (1-x) [/ math] como una posible antiderivada. Como resulta:
[matemáticas] \ begin {align} \ left [\ ln (1-x) \ right] ‘= (-1) \ frac {1} {1-x} \ end {align} [/ math]
Sin embargo, si multiplicamos ambos lados por [matemáticas] -1 [/ matemáticas], obtendremos lo que queremos:
[matemáticas] \ begin {align} \ left [- \ ln (1-x) \ right] ‘= \ frac {1} {1-x} \ end {align} [/ math]
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produciendo que [math] \ displaystyle \ int \ frac {1} {1-x} \, dx = – \ ln (1-x) + C [/ math].
Y si está interesado en aprender más acerca de este método (también conocido como el Método de sobrepaso), el módulo Serie de técnicas de integración: Cómo hacer uso del método de sobrepaso e integrarse con facilidad explora en profundidad cómo se puede usar este método para resolver ¡algunas docenas de integrales que van desde logaritmos , funciones trigonométricas hasta funciones racionales y otras funciones aparentemente difíciles de integrar!
PD: ¿recuerdas la matriz? Bueno, la notación estándar se vuelve difícil de usar a veces, por lo que creamos el Sistema de notación expandido para facilitar la comunicación y las pruebas relacionadas con la matriz.