¿Cómo se evalúa [math] \ displaystyle I = \ int \ frac {\ mathrm {d} x} {\ sin ^ 3 x + \ cos ^ 3 x} [/ math]?

Answer 1

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ frac {\ mathrm {d} x} {\ sin ^ 3 x + \ cos ^ 3 x} [/ math]

Como [matemáticas] \ displaystyle a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 -ab + b ^ 2) [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] \ displaystyle \ sin ^ 3 x + \ cos ^ 3 x = (\ sin x + \ cos x) (\ sin ^ 2 x – \ sin x \, \ cos x + \ cos ^ 2 x) [/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sqrt {2} \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2}} \ sen x + \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ cos x \ right) \ left (1 – \ frac {1} {2} \ sen 2x \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sqrt {2} \ sin \ left (x + \ frac {\ pi} {4} \ right) \, \ left (1 – \ frac {1} {2} \ sin 2x \ right )[/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ frac {\ mathrm {d} x} {\ sqrt {2} \ sin \ left (x + \ frac {\ pi} {4} \ right) \, \ left (1 – \ frac {1} {2} \ sen 2x \ right)} [/ math]

Poner [matemáticas] \ displaystyle x + \ frac {\ pi} {4} = y [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ frac {\ mathrm {d} y} {\ sin y \ left (1 + \ frac {1} {2} \ cos 2y \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ int \ frac {\ mathrm {d} y} {\ sin y \ left (\ frac {3} {2} – \ sin ^ 2y \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ int \ left (\ frac {2} {3 \ sin y} – \ frac {4 \ sin y} {3 (2 \ sin ^ 2 y -3)} \ right) \ mathrm {d} y [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ int \ frac {2} {3} \ csc y ​​\, \ mathrm {d} y – \ frac {4} {3 \ sqrt { 2}} \ int \ frac {\ sin y} {(2 \ sin ^ 2 y -3)} \ mathrm {d} y [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = – \ frac {2} {3 \ sqrt {2}} \ ln | \ cot y + \ csc y ​​| + \ frac {4} {3 \ sqrt {2}} \ int \ frac {\ sin y} {1 + 2 \ cos ^ 2 y} \ mathrm {d} y [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = – \ frac {2} {3 \ sqrt {2}} \ ln | \ cot y + \ csc y ​​| + \ frac {4} {3 \ sqrt {2}} \ int \ frac {\ mathrm {d} (\ cos y)} {1 + 2 \ cos ^ 2 y} [/ math]

[matemáticas] \ color {azul} {\ en caja {\ displaystyle I = – \ frac {2} {3 \ sqrt {2}} \ ln \ left | \ cot \ left (x + \ frac {\ pi} {4} \ right) + \ csc \ left (x + \ frac {\ pi} {4} \ right) \ right | + \ frac {4} {3 \ sqrt {2}} \ arctan \ left (\ sqrt {2} \ cos \ left (x + \ frac {\ pi} {4} \ right) \ right) + C}} [/matemáticas]

PD: ¡gracias a Suhas Hoysal y Devansh Sehta por ayudarme con LaTeX!

Answer 2

A2A

Un montón de sustituciones y ajustes locos. Pero finalmente lo hice 🙂

Agregaré explicaciones cuando sea necesario.

[matemáticas] \ text {Let I} = \ displaystyle {\ int \ dfrac {1} {\ sin ^ 3 (x) + \ cos ^ 3 (x)} dx} [/ math]

[math] \ boxed {\ text {Use:}} [/ math]

[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 -ab + b ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {I} = \ displaystyle {\ int \ dfrac {1} {(\ sin (x) + \ cos (x)) (\ sin ^ 2 (x) – \ sin (x) \ cos ( x) + \ cos ^ 2 (x))} dx} [/ matemáticas]

[math] \ boxed {\ text {Simplify:}} [/ math]

[matemática] = \ displaystyle {\ int \ dfrac {1} {(\ sin (x) + \ cos (x)) (1- \ sin (x) \ cos (x)]} dx} [/ math]

[matemática] = \ displaystyle {2 \ int \ dfrac {1} {(\ sin (x) + \ cos (x)) [2- 2 \ sin (x) \ cos (x)]} dx} [/ math ]

[matemática] = \ displaystyle {2 \ int \ dfrac {1} {(\ sin (x) + \ cos (x)) (2- \ sin (2x))} dx} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle {2 \ int \ dfrac {\ sin (x) + \ cos (x)} {[\ sin (x) + \ cos (x)] ^ 2 (2- \ sin (2x)) } dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle {2 \ int \ dfrac {\ sin (x) + \ cos (x)} {(1+ \ sin (2x)) (2- \ sin (2x))} dx} [/ math ]

[math] \ boxed {\ text {Sustituciones:}} [/ math]

[matemáticas] \ text {Put} \ cos (x) – \ sin (x) = t [/ math]

[matemáticas] \ implica (\ sin (x) + \ cos (x)) dx = – dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {También} [\ cos (x) – \ sin (x)] ^ 2 = t ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1 – \ sin (2x) = t ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ sin (2x) = 1 – t ^ 2 [/ matemáticas]

[math] = \ displaystyle {-2 \ int \ dfrac {1} {(2- t ^ 2) (1 + t ^ 2)} dt} [/ math]

[math] \ boxed {\ text {Note:}} [/ math]

La suma de los factores [matemática] 2 [/ matemática] en el denominador es [matemáticas] 3 [/ matemáticas]. Usaremos esto para obtener algo similar en el numerador.

[matemática] = \ displaystyle {- \ dfrac {2} {3} \ int \ dfrac {3} {(2- t ^ 2) (1 + t ^ 2)} dt} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle {- \ dfrac {2} {3} \ int \ dfrac {(2-t ^ 2) + (1 + t ^ 2)} {(2- t ^ 2) (1 + t ^ 2)} dt} [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ dfrac {2} {3} \ bigg [\ displaystyle {\ int \ dfrac {1} {1 + t ^ 2} dt – \ int \ dfrac {1} {(\ sqrt {2}) ^ 2-t ^ 2} dt} \ bigg] [/ math]

[matemáticas] = – \ dfrac {2} {3} \ bigg [\ tan ^ {- 1} (t) + \ dfrac {1} {2 \ sqrt {2}} \ ln \ Big | \ dfrac {\ sqrt {2} + t} {\ sqrt {2} – t} \ Big | \ bigg] + \ text {C} [/ math]

[matemáticas] = – \ dfrac {2} {3} \ tan ^ {- 1} (t) – \ dfrac {1} {3 \ sqrt {2}} \ ln \ Big | \ dfrac {\ sqrt {2} + t} {\ sqrt {2} – t} \ Big | + \ text {C} [/ math]

[matemáticas] = – \ dfrac {2} {3} \ tan ^ {- 1} (\ cos (x) – \ sin (x)) – \ dfrac {1} {3 \ sqrt {2}} \ ln \ Grande | \ dfrac {\ sqrt {2} + \ cos (x) – \ sin (x)} {\ sqrt {2} + \ sin (x) – \ cos (x)} \ Big | + \ text {C} [/ math]

¡Hecho! ~ (^ ∆ ^) ~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

[matemáticas] \ text {I} = – \ dfrac {2} {3} \ tan ^ {- 1} (\ cos (x) – \ sin (x)) – \ dfrac {1} {3 \ sqrt {2 }} \ ln \ Big | \ dfrac {\ sqrt {2} + \ cos (x) – \ sin (x)} {\ sqrt {2} + \ sin (x) – \ cos (x)} \ Big | + \ text {C} [/ math]

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Answer 3

Aquí está la solución …

Ahora, para resolver la integración anterior por el método de fracción parcial, suponemos t ^ 2 = y (en aras de la simplicidad).

Respuesta final:

---

Espero eso ayude…

Gracias por preguntar.

Gracias por leer.

Answer 4

[matemáticas] \ int = \ frac {dx} {sin ^ {3} x + cos ^ {3} x} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {\ sqrt {2} sin (3x + \ frac {\ pi} {4})} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {2} csc (3x + \ frac {\ pi} {4})} [/ matemáticas]

Comprender más sobre la integración

Answer 5

[matemáticas] \ sin ^ 3 x + \ cos ^ 3x = (\ sin x + \ cos x) (\ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x- \ sin x \ cos x) [/ matemáticas]

Deje [math] \ sin x- \ cos x = t [/ math] luego [math] (\ sin x + \ cos x) dx = dt [/ math] y

[matemáticas] t ^ 2 = (\ sin x- \ cos x) ^ 2 [/ matemáticas] = [matemáticas] (\ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x-2 \ sin x \ cos x = 1–2 \ sin x \ cos x [/ math]

\ por lo tanto [matemáticas] sen x \ cos x = \ frac {1-t ^ 2} {2} [/ matemáticas] y

[matemáticas] (\ sen x + \ cos x) ^ 2 = 1 + 2 \ sin x \ cos x = 1 + 1-t ^ 2 = 2-t ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ int \ frac {1} {\ sin ^ 3 x + \ cos ^ 3x} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ frac {(\ sin x + \ cos x)} {(\ sin x + \ cos x) ^ 2 (1–2 \ sin x) \ cos x} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ frac {2dt} {(2-t ^ 2) (1 + t ^ 2)} dt [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {2} {3} \ int \ frac {(2-t ^ 2) + (1 + t ^ 2)} {(2-t ^ 2) (1 + t ^ 2)} dt = \ frac {2} {3} \ int (\ frac {1} {2-t ^ 2} + \ frac {1} {1 + t ^ 2}) dt [/ math]

= [matemáticas] \ frac {2} {3} (\ frac {1} {2 \ sqrt 2} \ ln \ frac {\ sqrt 2 + t} {\ sqrt 2-t} + \ tan ^ {- 1} t) + C [/ matemáticas]

donde t = [matemáticas] \ sen x- \ cos x [/ matemáticas]