Cómo demostrar que si d | a y d | b, (ab) / d es un múltiplo común de a y b

Answer 1

Recordando la definición del mínimo común múltiplo, denotado por [math] c, [/ math] de a y b, tiene dos partes. Uno: [matemática] c [/ matemática] es un múltiplo de [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática]. Dos: cada múltiplo común de [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] es un múltiplo de [matemáticas] c [/ matemáticas]. Por lo tanto, una prueba debe contener estas dos partes.

Primero, puede ver que [math] \ frac {ab} {d} = a \ cdot \ frac {b} {d} = \ frac {a} {d} \ cdot b [/ math] es un múltiplo de [ matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], como [matemática] \ frac {b} {d} [/ matemática] o [matemática] \ frac {a} {d} [/ matemática] es un entero

En segundo lugar, debemos verificar que si algún número entero, denotado por [math] e [/ math], es un múltiplo de [math] a [/ math] y [math] b [/ math], entonces [math] e [ / math] debe ser un múltiplo de [math] \ frac {ab} {d} [/ math]. Aquí, debe usar otro resultado de la teoría de números. Es decir, si dos enteros coprimos, denotados por [math] A [/ math] y [math] B [/ math], dividen otro entero, denotado por [math] C [/ math], entonces su producto [math] AB [/ math] divide [math] C [/ math]. Este resultado o la respuesta a su pregunta pueden ser probados directamente por el teorema fundamental de la aritmética, dependiendo de cómo su libro de texto manejó el problema.

Answer 2

Supongo que amas el cálculo, con todos los [math] dx [/ math] ‘s y [math] dy [/ math]’ s.

Casi lo tienes, pero con algunos pasos innecesarios y un pequeño error (pero fatal).

Si [matemática] a = dx [/ matemática] y [matemática] b = dy [/ matemática], entonces [matemática] \ dfrac {ab} {d} = \ dfrac {dxdy} {d} [/ matemática] (como has escrito correctamente).

Pero esto es igual a [math] dxy [/ math] (no simplemente [math] xy [/ math], como ha escrito incorrectamente).

Es decir, [math] \ boxed {\ dfrac {ab} {d} = dxy = ay = bx} [/ math], lo que demuestra que es un múltiplo común de [math] a [/ math] y [math] b [/ matemáticas].

Answer 3

Empezaste de la manera correcta. Escribe tanto [matemática] a [/ matemática] como [matemática] b [/ matemática] como múltiplos de [matemática] d [/ matemática] (introduciendo enteros [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática ]).

Ahora debe demostrar que [math] \ frac {ab} {d} [/ math] es un múltiplo de [math] a [/ math] y [math] b [/ math]. Así que completemos lo que tenemos para [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] en [matemáticas] \ frac {ab} {d} [/ matemáticas]. Esto se convierte en: [matemáticas] \ frac {xyd ^ 2} {d} = xyd [/ matemáticas]. Ahora es fácil demostrar que debe ser un múltiplo de [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] (primero muestre uno, luego el otro).

Answer 4

Desde la segunda línea, ab = ddxy, por lo tanto ab / d = dxy, que es un múltiplo común de a y b. A necesita ser multiplicado por y para obtener este valor yb necesita ser multiplicado por x para obtener este valor. Espero que esto ayude, cualquier corrección sería apreciada.

Answer 5

Debe haber descubierto ahora que en (ab) / d = a (b / d) = b (a / d), b / d y a / d son enteros.