Cómo evaluar [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {1- \ cos (1- \ cos x)} {x ^ {4}} [/ math]

Answer 1

Podemos usar identidades trigonométricas

[math] = \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {(1- \ cos (1- \ cos x))} {x ^ 4} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {(1- \ cos (2 (\ sin \ frac {x} {2}) ^ 2)} {x ^ 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {2 (\ sin (\ sin \ frac {x} {2}) ^ 2) ^ 2} {x ^ 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {2 (\ sin (\ sin \ frac {x} {2}) ^ 2) ^ 2} {(\ sin \ frac {x} {2 }) ^ 4} \ frac {(\ sin \ frac {x} {2}) ^ 4} {x ^ 4} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {2 (\ sin (\ sin \ frac {x} {2}) ^ 2) ^ 2} {(\ sin \ frac {x} {2 }) ^ 4} \ frac {(\ sin \ frac {x} {2}) ^ 4} {(\ frac {x} {2}) ^ 4 2 ^ 4} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {1} {2 ^ 3} \ frac {(\ sin (\ sin \ frac {x} {2}) ^ 2) ^ 2} {( \ sin \ frac {x} {2}) ^ 4} \ frac {(\ sin \ frac {x} {2}) ^ 4} {(\ frac {x} {2}) ^ 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ frac {1} {8}. (1). (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ frac {1} {8} [/ matemáticas]

o podemos usar la expansión de [math] \ cos x [/ math]

[matemáticas] \ cos x = 1- \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} – \ frac {x ^ 6} {6!} \ cdots [/ math]

[matemáticas] \ implica 1- \ cos x = \ frac {x ^ 2} {2!} – \ frac {x ^ 4} {4!} + \ frac {x ^ 6} {6!} \ cdots [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] \ cos (1- \ cos x) = \ cos (\ frac {x ^ 2} {2!} – \ frac {x ^ 4} {4!} + \ cdots) [/ math]

Ahora deja

[matemáticas] x ^ 2 (\ frac {1} {2!} – \ frac {x ^ 2} {4!} + \ frac {x ^ 4} {6!}) \ cdots = z [/ matemáticas]

Ahora,

[matemáticas] \ displaystyle 1- \ cos z [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ frac {z ^ 2} {2!} – \ frac {z ^ 4} {4!} + \ frac {z ^ 6} {6!} \ cdots [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle z ^ 2 (\ frac {1} {2!} – \ frac {z ^ 2} {4!} + \ frac {z ^ 4} {6!}) [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle x ^ 4 (\ frac {1} {2!} – \ frac {x ^ 2} {4!}) ^ 2 (\ frac {1} {2!} – \ frac {z ^ 2} {4!}) [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ frac {1- \ cos z} {x ^ 4} = (\ frac {1} {2!} – \ frac {x ^ 2} {4!}) ^ 2 (\ frac {1} {2!} – \ frac {z ^ 2} {4!}) [/ Math]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {1- \ cos z} {x ^ 4} = (\ frac {1} {2!} – \ frac {x ^ 2} {4 !}) ^ 2 (\ frac {1} {2!} – \ frac {z ^ 2} {4!}) [/ Math]

[matemáticas] = \ displaystyle (\ frac {1} {2!}) ^ 2 \ frac {1} {2!} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ frac {1} {8} [/ matemáticas]

Espero que ayude 🙂

Answer 2

Aquí, usar L’hospital lleva mucho tiempo ya que el poder del denominador es 4. Por lo tanto, el mejor método para resolver esta pregunta sería MANIPULAR la función dada para obtener cierto límite estándar. La respuesta sería la misma, pero puede ahorrar tiempo aquí. La solución se adjunta en la imagen, comente si no está clara

¡Salud!

Answer 3

Puede usar la serie Maclaurin para el coseno, [matemáticas] \ cos x = 1 – x ^ 2/2 + O \ izquierda (x ^ 4 \ derecha) [/ matemáticas], que es equivalente a [matemáticas] 1 – \ cos x = x ^ 2/2 – O \ left (x ^ 4 \ right) [/ math].

Así:

[matemáticas] \ begin {eqnarray} \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {1 – \ cos \ left (1 – \ cos x \ right)} {x ^ 4} & = & \ lim_ {x \ a 0} \ frac {1- \ cos \ left [x ^ 2/2 – O \ left (x ^ 4 \ right) \ right]} {x ^ 4} \\ & = & \ lim_ {x \ to 0 } \ frac {\ left [x ^ 2/2 – O \ left (x ^ 4 \ right) \ right] ^ 2/2 – O \ left (x ^ 8 \ right)} {x ^ 4} \\ & = & \ lim_ {x \ a 0} \ frac {x ^ 4/8 – O \ left (x ^ 6 \ right)} {x ^ 4} = \ frac 1 8. \ end {eqnarray} [/ math]

Answer 4

Deje que el límite sea [matemáticas] L [/ matemáticas].

[matemática] \ grande L = \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {1 – \ cos (1- \ cos x)} {x ^ 4} [/ matemática]

Tenga en cuenta que como [matemática] x \ a 0 [/ matemática], [matemática] \ cos x \ a 1 [/ matemática], [matemática] 1 – \ cos x \ a 0 [/ matemática]

A partir de esto, usaré la expansión MacLaurin de la función coseno.

[matemáticas] \ cos (1- \ cos x) = 1 – \ dfrac {(1- \ cos x) ^ 2} {2!} + O ((1 – \ cos x) ^ 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ large L = \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {1 – \ left (1 – \ frac {(1- \ cos x) ^ 2} {2!} + O ((1- \ cos x) ^ 4) \ right)} {x ^ 4} [/ math]

Como [matemática] 1 – \ cos x \ a 0 [/ matemática] como [matemática] x \ a 0 [/ matemática], [matemática] O ((1 – \ cos x) ^ 4) \ a 0 [/ matemática ]

[matemática] \ large L = \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {1 – 1 + \ frac {(1 – \ cos x) ^ 2} {2!}} {x ^ 4} = \ dfrac {1} {2} \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {(1- \ cos x) ^ 2} {x ^ 4} [/ math]

[matemáticas] \ cos x = 1 – \ dfrac {x ^ 2} {2!} + O (x ^ 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ large L = \ displaystyle \ dfrac {1} {2} \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {(1 – 1 + \ frac {x ^ 2} {2!}) ^ 2} {x ^ 4} = \ dfrac {1} {2} \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {x ^ 4} {4x ^ 4} = \ boxed {\ dfrac {1} {8}} [/ math ]

Answer 5

Primero verificamos si el límite dado cae dentro de uno de los 7 formatos indeterminados o no. Aquí tiene formato 0/0.

Usando identidad (1-cosx) = 2sin² (x / 2) obtenemos el límite igual a

1-cos (2sin² (x / 2)) / x⁴

Nuevamente usando la misma identidad, límite igual

2sin² (2sin² (x / 2) / 2) / x⁴

Sabemos, en lim a [matemáticas] -> [/ matemáticas] 0 sin (a) / a = 1

Entonces podemos usar sin (a) = a donde sea necesario.

Entonces nuestro límite se reduce a

2sin² ((x² / 4)) / x⁴

Lo que se reduce aún más a

2 (x⁴ / 16) / x⁴

Como x ≠ 0, x⁴ se puede cancelar, por lo que nuestra respuesta es 2/16 = 1/8

Answer 6

Use 1-cosx = 2sin ^ 2 (x / 2) en ambas ocasiones.

= (1-cos (2sin ^ 2 (x / 2))) / x ^ 4

= 2sin ^ 2 (2sin ^ 2 (x / 2) / 2) / x ^ 4

= 2 * (sin ^ 2 (x / 2)) ^ 2. / x ^ 4

= 2 * ((x ^ 2) / 4) ^ 2 / x ^ 4

= 2 * ((x ^ 4) / 16) / x ^ 4

= 1/8

{Lim x-> 0 (sin x) = x se usa donde sea necesario}

Espero eso ayude. Y perdón por no escribir correctamente.