Comencemos con lo básico. Denotemos la altitud del objeto por la letra [math] x [/ math]. La velocidad del objeto es la derivada del tiempo de [matemáticas] x [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] v = dx / dt [/ matemáticas].
El objeto se acelera hacia abajo por la gravedad, que suponemos que es homogénea, caracterizada por la aceleración gravitacional (constante) [matemática] g [/ matemática]. El objeto también se acelera hacia arriba por la resistencia del aire, que es proporcional a la velocidad al cuadrado; denotemos el factor de proporcionalidad con la letra [math] c [/ math].
Entonces, la aceleración (segunda derivada de la posición) es la suma de estas dos aceleraciones:
[matemáticas] \ dfrac {d ^ 2x} {dt ^ 2} = -g + cv ^ 2 [/ matemáticas],
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pero como [math] v = dx / dt [/ math], por lo tanto [math] d ^ 2x / dt ^ 2 = dv / dt [/ math], la ecuación se convierte en una ecuación diferencial simple de primer orden en [math] v [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ dfrac {dv} {dt} = -g + cv ^ 2 [/ matemáticas].
Esta ecuación se puede integrar con bastante facilidad. Primero un poco de álgebra:
[matemáticas] \ dfrac {1} {cv ^ 2-g} dv = dt [/ matemáticas],
o después de la integración,
[matemáticas] – \ dfrac {1} {\ sqrt {gc}} {\ rm atanh} \ left (\ sqrt {\ dfrac {cv ^ 2} {g}} \ right) = t [/ math],
que se puede resolver para [math] v [/ math]:
[matemáticas] v = – \ sqrt {\ dfrac {g} {c}} \ tanh (t \ sqrt {gc}) [/ matemáticas].
En esta solución, la velocidad inicial es [matemática] v (t = 0) = 0 [/ matemática]. La velocidad es negativa, lo que indica que está apuntando hacia abajo (la altitud está disminuyendo).
En el límite [matemática] c \ a 0 [/ matemática], la velocidad se convierte en
[matemáticas] v = -gt [/ matemáticas],
que es simplemente caída libre en un campo gravitacional homogéneo.