¿Cuál es la intuición detrás de la solución en serie de Ecuaciones Diferenciales?

Answer 1

En el método tradicional de resolución de ecuaciones diferenciales lineales, ¿qué encontrar como solución? obtenemos una combinación lineal de algunas funciones elementales como x ^ 2, lnx, e ^ ax, sin (ax), cos (ax), etc. como solución general y particular.

Desde la serie Power (o puede decir expansión de la serie Taylor) o la expansión polinómica, podemos encontrar cualquier función elemental como una suma de series de potencia. Por lo tanto, ¿no podemos considerar que las soluciones de ecuación diferencial lineal se expresan como una combinación lineal de algunas series de potencia? Si podemos.

Ahora, en el aspecto general, no necesitamos resolver ninguna ecuación diferencial lineal en el método de solución en serie, pero hay alguna ecuación diferencial lineal (ecuación diferencial de Bessel, ecuación diferencial de Legendre, ecuación diferencial de Hermite y Lagurre) en la que no podemos encontrar Su solución por el método tradicional. En tal situación, debemos buscar el método de solución en serie para la solución.

Answer 2

Digamos que tienes un péndulo simple como este, oscilando con un movimiento armónico. Conoces la ecuación diferencial de este problema en tu libro de física de nivel secundario o universitario.

Ahora, si te pido que me obtengas la ecuación de movimiento de un péndulo, saltarías y dirías: ‘ Es una función lineal de seno y coseno … ‘ Bueno, tienes razón.

Pero, ¿cómo sabías que es la respuesta?

1. ¿Cómo llegó exactamente a la conclusión de que es solo seno y coseno y nada más?
2. ¿Por qué no y una función logarítmica o tangencial?
3. ¿Por qué no algo hiperbólico?

Podría argumentar que, ‘ Bueno, el movimiento parece armónico en la imagen GIF de arriba, por lo que tiene que ser seno y / o coseno. ‘. Es cierto de nuevo! Pero, ¿lo sabe con certeza o lo siguió porque su maestro de escuela le dijo que lo hiciera?

Entonces, aquí está la solución, como has adivinado, una función lineal de seno y coseno.

X = A cos (wt) + B sin (wt)

Del mismo modo, si tiene una ecuación diferencial de segundo orden de vibración con resorte y tablero, puede saber por intuición que se supone que la respuesta es exponencial y si realmente sustituye exponencial en la ecuación diferencial, parece que satisface la ecuación.

Pero la pregunta es ¿cómo sabemos que es la solución y que ninguna otra solución es posible?

Respuesta: solución en serie.

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Históricamente, Euler llegó a la conclusión de que la solución al péndulo debería ser senos y cosenos y al segundo problema debería ser exponencial. Pero lo hizo con el ‘ Método de adivinanzas’ . En otras palabras, con cierta intuición tuvo suerte.

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Por lo tanto, existen problemas en las ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver directamente, pero que se pueden resolver con intuición o dividiendo una ecuación en una suma infinita de variables de modo que represente la misma solución. Específicamente sucede en el caso de coeficientes variables. Tu sabes como resolver

Porque los coeficientes son constantes. Pero no sabes cómo lidiar con eso,

Eso significa que, para estas ecuaciones, en las que los coeficientes no son constantes, deben resolverse con algún método diferente. ¿Puede ser expandiendo los términos a sumas infinitas? ¡Podría funcionar! Y así es como apareció la serie Power.

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De vuelta al problema del péndulo . Sabemos que la solución es una combinación de senos y cosenos, pero no estamos seguros. La serie Power lo confirma de la siguiente manera.

Por lo tanto demostrado!