Cómo resolver para [matemáticas] y [/ matemáticas] en la siguiente ecuación

La raíz cuadrada aquí no hace nada: será igual a cero si y solo si la expresión dentro de la raíz cuadrada es igual a cero.

[matemáticas] x ^ 2-2xy + 4y ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Obviamente, [matemáticas] x = y = 0 [/ matemáticas] es una solución trivial. Es fácil ver que no hay otras soluciones con [matemáticas] x [/ matemáticas] o [matemáticas] y [/ matemáticas] cero. Entonces, a partir de aquí, podemos asumir [math] x \ ne0 [/ math]. El truco es factorizar [matemática] x ^ 2 [/ matemática]:

[matemáticas] 0 = x ^ 2-2xy + 4y ^ 2 = x ^ 2 (1 – 2 \ frac yx + 4 \ frac {y ^ 2} {x ^ 2}) = 4 (\ frac yx) ^ 2 – 2 \ frac yx + 1 [/ matemáticas]

Podemos dividir las [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] porque asumimos que no es cero. Nos queda una ecuación cuadrática en [matemática] m = \ frac yx [/ matemática], a saber [matemática] 4m ^ 2 – 2m + 1 = 0. [/ matemática] El discriminante [matemática] d = (- 2 ) ^ 2-4 \ cdot4 [/ math] es negativo, por lo que no tiene soluciones reales.

Entonces la solución trivial [matemática] x = y = 0 [/ matemática] es la única solución real.


El pobre interrogador quería resolver [matemáticas] y [/ matemáticas] y todo lo que le dimos fue cero. No parece suficiente Consideremos soluciones complejas.

[matemáticas] 4m ^ 2 – 2m + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] m = \ frac 1 8 (2 \ pm \ sqrt {(- 2) ^ 2-4 \ cdot 4}) = \ frac 1 4 (1 \ pm i \ sqrt {3}) [/ matemáticas]

Dado que [math] m = \ frac yx [/ math] eso da [math] y = mx [/ math] o la respuesta a la pregunta:

[matemáticas] y = \ frac x 4 (1 \ pm i \ sqrt {3}) [/ matemáticas]

Afortunadamente, esto ya incluye la solución trivial [matemática] x = y = 0 [/ matemática], por lo que no es necesario enumerarla por separado.

Verificación: voy a suponer que apliqué la fórmula cuadrática correctamente, y simplemente verifico así:

[matemáticas] y = mx [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2-2xy + 4y ^ 2 = x ^ 2-2mx ^ 2 + 4m ^ 2x ^ 2 = x ^ 2 (1 – 2m + 4m ^ 2) = x ^ 2 \ cdot 0 = 0 \ \ \ marca de verificación [/ math]

Cuadrados completos para la expresión dentro de la surd

[matemáticas] x ^ 2-2xy + 4y ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4 (y ^ 2- \ frac {xy} {2} + \ frac {x ^ 2} {16}) + \ frac {x ^ 2} {16} – \ frac {4x ^ 2} { 16} [/ matemáticas]

= [matemáticas] (y- \ frac {x} {4}) ^ 2+ \ frac {3x ^ 2} {4} \ geq0 [/ matemáticas]

La igualdad ocurre cuando [matemáticas] x = y = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, existe la solución trivial de [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas]