¿Cómo resolvería esta ecuación funcional: [matemáticas] \ dfrac {f \ left (x \ right)} {f \ left (x-1 \ right)} = 2x [/ math]

Answer 1

Podemos resolver esta pregunta considerando formas similares de la ecuación que se muestra y tratando de derivar un patrón de forma recursiva.

Por sustitución, [matemáticas] \ frac {f (x – 1)} {f (x – 2)} = 2 (x – 1) [/ matemáticas].

Multiplicando esta ecuación con la información dada, obtenemos que [matemáticas] \ frac {f (x)} {f (x – 2)} = 2x * 2 (x – 1) = 2 ^ 2 * x (x – 1) [ /matemáticas].

Multiplicando esta nueva ecuación por la ecuación para [math] \ frac {f (x – 2)} {f (x – 3)} [/ math] produce [math] \ frac {f (x)} {f (x – 3)} = 2 ^ 3 * x (x – 1) (x – 2). [/ Math]

¿Comienza a notar el patrón? Continuando, encontramos que

[matemática] \ frac {f (x)} {f (x – n)} = 2 ^ nx (x – 1) (x – 2)… (x – n + 1) [/ matemática]

y esto se puede simplificar para producir

[matemáticas] \ frac {f (x)} {f (x – n)} = 2 ^ n \ frac {x!} {(x – n)!} [/ matemáticas]

que es una relación de la función con sustituciones de [matemáticas] x [/ matemáticas] o [matemáticas] (x – n) [/ matemáticas].

Ahora, en esta proporción, [math] f (x – n) [/ math] debería tener una forma similar a [math] f (x) [/ math]. Todo lo que se interpone en nuestro camino es el factor [matemática] 2 ^ n [/ matemática] en el numerador.

Necesitamos [math] f [/ math], por lo tanto, para tener la forma [math] 2 ^ kx! [/ math] donde [math] k [/ math] es una función de [math] x [/ math] en el numerador y de [math] (x – n) [/ math] en el denominador.

Esto solo puede suceder cuando [math] 2 ^ n [/ math] se escribe como [math] \ frac {2 ^ x} {2 ^ {x – n}} [/ math] en el numerador. Por lo tanto tenemos:

[matemáticas] \ frac {f (x)} {f (x – n)} = \ frac {2 ^ xx!} {2 ^ {x – n} (x – n)!} [/ matemáticas]

y así, al considerar la identidad en el numerador:

[matemáticas] f (x) = 2 ^ xx! [/ matemáticas]

QED

Answer 2

Claramente, la ecuación funcional solo da relaciones entre valores de x que difieren en un entero. Entonces, elija cualquier función en [0,1), y luego use la ecuación funcional para extenderse al resto de la línea real.

Si desea que la función resultante sea, por ejemplo, continua, entonces claramente necesita que su función original sea continua, y además tendrá una condición para verificar en cada punto entero.