¿Por qué podemos ignorar arbitrariamente una solución y aceptar la otra al resolver ecuaciones algebraicas?

Answer 1

Imagine que camina por la calle cuando, de repente, ve a alguien atacado brutalmente por un hombre al que le falta la oreja izquierda. Huye antes de que puedas intervenir, pero luego le das esta información a la policía. Le muestran fotos de todos los criminales conocidos en el área a quienes les falta la oreja izquierda, y usted puede identificar al hombre que vio. [1]

Ahora, una vez que haya encontrado al atacante y lo haya enviado a prisión, ¿le gustaría continuar encarcelando a todos los demás hombres sin orejas en el área? El sospechoso en el caso era simplemente una solución a la ecuación.

número de orejas (x) = 1

¿Deberían las otras soluciones a esta ecuación darnos información adicional sobre el crimen?

Supongo que no es imposible, tal vez hay una banda criminal corriendo que les corta los oídos a sus iniciados. Quizás las personas que no cumplan con los ideales físicos de la sociedad son expulsadas de la vida dominante y conducidas a una vida criminal. Pero lo más probable es que no haya ninguna conexión fuerte aquí.

Foto: Vincent van Gogh, probablemente desconectado del ataque.

Lo que está haciendo es confundir una condición necesaria , por ejemplo, “si la función tiene un máximo suave, entonces su derivada será cero”, con una condición necesaria y suficiente. Esto es un error que mucha gente comete en alguna fase de su desarrollo matemático, creo que porque el tipo de matemática que comenzamos a aprender a menudo no presenta ejemplos claros de la distinción.

Sin embargo, ilustremos la distinción. Si comenzamos con una ecuación, digamos

x + 3 = 2 x – 7

entonces podemos restar 3 de ambos lados, dándonos

x = 2 x – 10

Como hicimos lo mismo en ambos lados, cualquier valor de x que satisfaga la primera ecuación también satisface la segunda. Como lo que hicimos a ambos lados es reversible , lo contrario también es cierto.

En nuestro misterio, esto es como si vieras al sospechoso de asalto y, usando tus habilidades artísticas, dibujaste una foto perfecta de él de memoria. Transformó la información de un recuerdo dentro de su cabeza a una imagen en papel, pero al hacerlo, ha conservado toda la información que originalmente estaba allí (al menos en lo que respecta a su cara).

Sin embargo, supongamos que tenemos una ecuación como

[matemáticas] \ sqrt {3 – 2x} = x [/ matemáticas]

Podemos cuadrar ambos lados, dándonos

[matemáticas] 3 – 2 x = x ^ 2 [/ matemáticas]

Como hicimos lo mismo en ambos lados, cualquier valor de x que satisfaga la primera ecuación también satisface la segunda. Sin embargo , la operación que realizamos aquí no es reversible: cuando cuadras un número, olvidas si fue positivo o negativo para empezar, por lo que puede haber soluciones a la segunda ecuación que no satisfacen la primera.

Esto es como si hubieras visto la cara del hombre pero no pudieras describirla, salvo por la oreja faltante. Has transformado la información que tenías en una forma con la que quizás sea más fácil trabajar, pero has creado soluciones extrañas que pueden o no tener nada que ver con el escenario original.

Avancemos y resolvamos la segunda ecuación:

[matemáticas] 3 – 2 x = x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 2x – 3 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 3) (x-1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ in \ {- 3, 1 \} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que x = 1 es legítimamente una solución a la ecuación original:

[matemáticas] \ sqrt {3 – 2 (1)} = \ sqrt {1} = 1 [/ matemáticas]

x = -3, por otro lado, no es:

[matemáticas] \ sqrt {3 – 2 (-3)} = \ sqrt {9} = 3 \ neq -3 [/ matemáticas]

[1] Para los propósitos de esta respuesta, ignoremos el hecho de que el testimonio de testigos oculares es notablemente poco confiable y que no es sencillo identificar a alguien que solo has visto una vez en una fotografía.

Answer 2

Depende de la condición. Supongamos que estamos resolviendo una ecuación cinemática que implica resolver una ecuación cuadrática. Y la variable es el tiempo. Podemos estar resolviendo por un tiempo cuando la velocidad de una partícula es [matemática] 0 [/ matemática], y podemos terminar con un valor negativo para el tiempo.

[matemáticas] v (t) = t ^ 2–4t + 5 [/ matemáticas]

Encuentra el tiempo cuando la velocidad es 0.

[matemáticas] t ^ 2–4t-5 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (t-5) (t + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica t = -1,5 [/ matemáticas]

el valor negativo no es aceptable ya que el tiempo no es negativo.

Entonces la partícula estará en reposo cuando [math] t = 5 [/ math]

Answer 3

El péndulo balístico

No, pero lo que haces depende de tu aplicación. Debe distinguir entre un modelo y las situaciones físicas que modela, pueden ser muy diferentes, pero solo deben coincidir en el bit que va a utilizar.

Por ejemplo, un cuadrado tiene área 4, por lo que los lados tienen longitud 2 pero no -2 si necesitamos cuadrados reales.

Todos los polinomios de grado n tienen n raíces, pero si las raíces deben interpretarse como donde la gráfica cruzaría el eje x, entonces solo las raíces reales funcionarán y si deben interpretarse como longitudes o pesos, etc. de objetos reales, entonces necesitamos descartar los negativos.

Si resolvemos un cuadrático para un proyectil, entonces una raíz negativa podría decirnos algo sobre el tiempo que el proyectil estaba a cierta altura.

En la imagen de arriba, si resolví la ecuación cuadrática para encontrar el rango de vuelo, establezco Y = 0 y obtengo 2 valores para X. Uno de ellos dice dónde toca el objeto el suelo. La otra raíz negativa nos dice de dónde se habría proyectado si se hubiera proyectado a nivel del suelo y hubiera recorrido la misma trayectoria después de X = 0. Por supuesto, sabemos que este es un momento hipotético porque se lanzó en X = 0.