¿Cuándo son iguales las raíces?

Answer 1

Esta es una pregunta bastante genérica.

Si tenemos una ecuación polinómica [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] donde [matemática] f [/ matemática] tiene en cuenta

[matemáticas] f (x) = (xc) ^ 2 g (x) [/ matemáticas]

entonces decimos que [math] c [/ math] es una raíz múltiple o raíz repetida de [math] f (x) = 0 [/ math]. Si solo hablamos de [math] f (x), [/ math] podemos decir que [math] f [/ math] tiene un cero de multiplicidad dos en [math] x = c [/ math]. Probablemente debería decir al menos dos, ya que [math] g (x) [/ math] también puede tener algunos factores adicionales de [math] (xc) [/ math]. Asumamos que no.

Los ceros repetidos tienen propiedades interesantes, especialmente cuando están en el denominador de una fracción. Cualquier cero en un denominador se llama polo. Si fuera nuestra [matemática] f (x) [/ matemática] estaba en el denominador, diríamos que la fracción tiene un polo de segundo orden en [matemática] x = c [/ matemática].

Otra cosa sobre las multiplicidades. Una multiplicidad en [matemáticas] x = c [/ matemáticas] implica que la derivada es cero en [matemáticas] x = c [/ matemáticas]. Para tomar un ejemplo fácil, deje que [math] f (x) = x ^ 2 [/ math] que tiene un cero de multiplicidad dos en [math] x = 0 [/ math]. Y de hecho, [matemática] f ‘(x) = 2x [/ matemática] es cero en [matemática] x = 0 [/ matemática]. A ver si podemos mostrarlo

[matemáticas] f (x) = (xc) ^ 2 g (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = (xc) ^ 2 g’ (x) + 2 (xc) g (x) = (xc) ((xc) g ‘(x) + 2g (x)) [/ matemáticas ]

Como [math] f ‘(x) [/ math] tiene [math] (xc) [/ math] como factor, [math] f’ (c) = 0 [/ math] como se indicó.