Si en el polinomio [math] ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d [/ math] a, b, c, d son números enteros tales que ad es impar mientras que bc es par, ¿cómo pruebo que ¿No todas las raíces del polinomio son racionales?

Answer 1

¡Asumamos que todas las raíces son racionales!

[math] ad [/ math] es impar, por lo tanto, [math] a [/ math] es impar y [math] d [/ math] es impar

[math] bc [/ math] es par, por lo tanto, cualquiera de ellos o ambos son pares

Podemos escribir [matemáticas] f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = (a_1x + a_2) (b_1x + b_2) (c_1x + c_2) [/ matemáticas]

Donde [math] a_1, b_1, c_1, a_2, b_2 [/ math] y [math] c_2 [/ math] son ​​todos enteros!

[matemáticas] f (x) = a_1b_1c_1x ^ 3 + (a_1b_1c_2 + a_1b_2c_1 + a_2b_1c_1) x ^ 2 + (a_1b_2c_2 + a_2b_1c_2 + a_2b_2c_1) x + a_2b_2c_2 [/ math]

Ahora podemos decir:

• [matemáticas] a = a_1b_1c_1 [/ matemáticas]
• [matemáticas] b = a_1b_1c_2 + a_1b_2c_1 + a_2b_1c_1 [/ matemáticas]
• [matemáticas] c = a_1b_2c_2 + a_2b_1c_2 + a_2b_2c_1 [/ matemáticas]
• [matemáticas] d = a_2b_2c_2 [/ matemáticas]

Como ya he mencionado anteriormente que [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] d [/ matemáticas] ambas son impares,

Por lo tanto, [math] a_1, b_1, c_1, a_2, b_2 [/ math] y [math] c_2 [/ math] son ODD

Esta información nos dice que [math] b [/ math] y [math] c [/ math] ambos también son ODD

Como dije, ya sea [math] b [/ math] o [math] c [/ math] es INCLUSO

Esta es nuestra CONTRADICCIÓN !!!

¡Por lo tanto, nuestra suposición era incorrecta y todas las raíces NO son racionales!

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Personalmente, la parte más difícil fue multiplicar los factores xD 😛

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BUENA SUERTE !

Answer 2

Sea [math] p (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d [/ math]. Entonces

[matemáticas] a ^ 2 \ cdot p (\ alpha) = {\ beta} ^ 3 + b \, {\ beta} ^ 2 + ac \, \ beta + a ^ 2d [/ matemáticas],

donde [math] \ beta = a \, \ alpha [/ math]. Por lo tanto, si [math] \ alpha \ in \ mathbb Q [/ math], entonces [math] \ beta \ in \ mathbb Q [/ math]. Además, si [math] \ beta = \ frac {r} {s} [/ math], [math] \ gcd (r, s) = 1 [/ math], entonces

[matemáticas] r ^ 3 + br ^ 2s + acrs ^ 2 + a ^ 2ds ^ 3 = 0 [/ matemáticas].

Como [math] s [/ math] divide cada uno de los últimos tres términos, [math] s \ mid r ^ 3 [/ math]. Ahora [math] \ gcd (r, s) = 1 [/ math] implica [math] s = 1 [/ math] [math] ([/ math] cualquier divisor primo [math] p [/ math] de [math] ] s [/ math] también debe dividir [math] r ^ 3 [/ math], de ahí dividir [math] r) [/ math] Concluimos que [math] \ beta \ in \ mathbb Z [/ math].

Suponga que [math] {\ alpha} _1 [/ math], [math] {\ alpha} _2 [/ math], [math] {\ alpha} _3 [/ math] son ​​las tres raíces de [math] p (x ) = 0 [/ math], y supongamos que cada uno es un número racional . Entonces [matemática] {\ beta} _1 = a \, {\ alpha} _1 [/ matemática], [matemática] {\ beta} _2 = a \, {\ alpha} _2 [/ matemática], [matemática] {\ beta} _3 = a \, {\ alpha} _3 [/ math] son ​​las tres raíces de [math] x ^ 3 + bx ^ 2 + acx + a ^ 2d = 0 [/ math], y cada uno es un número entero .

Como [math] ad [/ math] es impar , tanto [math] a [/ math] como [math] d [/ math] son impares . Por lo tanto, [math] {\ beta} _1 \, {\ beta} _2 \, {\ beta} _3 = -ad ^ 2 [/ math] es impar , por lo que cada [math] {\ beta} _i [/ ​​math ] es extraño . Pero desde

[matemáticas] {\ beta} _1 + {\ beta} _2 + {\ beta} _3 = -b [/ matemáticas] y [matemáticas] {\ beta} _1 \, {\ beta} _2 + {\ beta} _2 \, {\ beta} _3 + {\ beta} _3 \, {\ beta} _1 = ac [/ matemáticas],

tanto [math] b [/ math] como [math] ac [/ math] deben ser impares . Esto lleva a la contradicción de que [matemáticas] a (bc) [/ matemáticas] es impar. Por lo tanto, al menos uno de [math] {\ alpha} _1 [/ math], [math] {\ alpha} _2 [/ math], [math] {\ alpha} _3 [/ math] debe ser irracional . [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

Por supuesto, todas las raíces serán de naturaleza racional, ya que al conocer la naturaleza de las raíces de abc yd podemos encontrar el signo y los valores por contradicción, así que, en última instancia, los valores se toman del conjunto de números naturales y los valores serán racionales. y si se toma Por número real será racional o irracional …