Cómo transformar las raíces de una ecuación cúbica en otra con raíces que son las principales raíces cuadradas del cúbico original

Answer 1

Resolver esto es más fácil cuando hay números con los que lidiar, ya que los alfabetos hacen que esto sea muy complicado. Solo le diré una manera de resolver esto, puede usar este enfoque cuando se le proporcionen valores de a, byc.

Necesitamos una ecuación cúbica cuyas raíces sean [matemáticas] \ sqrt {\ alpha}, \ sqrt {\ beta}, \ sqrt {\ gamma}. [/ Matemáticas] Eso resultaría en [matemáticas] x ^ 3 – (\ sqrt {\ alpha} + \ sqrt {\ beta} + \ sqrt {\ gamma}) x ^ 2 + (\ sqrt {\ alpha \ beta} + \ sqrt {\ beta \ gamma} + \ sqrt {\ gamma \ alpha} ) x- \ sqrt {\ alpha \ beta \ gamma} = 0 [/ math]

Sabemos el valor de [math] \ sqrt {\ alpha \ beta \ gamma}, [/ math] es [math] \ sqrt {\ dfrac {-d} {a}}. [/ Math] Necesitamos encontrar los coeficientes de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x. [/ matemáticas] Ahora considere estas dos ecuaciones:

1. [matemáticas] (\ sqrt {\ alpha} + \ sqrt {\ beta} + \ sqrt {\ gamma}) ^ 2 = \ alpha + \ beta + \ gamma + 2 (\ sqrt {\ alpha \ beta} + \ sqrt {\ beta \ gamma} + \ sqrt {\ gamma \ alpha}) [/ math]
2. [matemáticas] (\ sqrt {\ alpha \ beta} + \ sqrt {\ beta \ gamma} + \ sqrt {\ gamma \ alpha}) ^ 2 = \ alpha \ beta + \ beta \ gamma + \ gamma \ alpha + 2 (\ sqrt {\ alpha \ beta \ gamma ^ 2} + \ sqrt {\ alpha ^ 2 \ beta \ gamma} + \ sqrt {\ gamma \ alpha \ beta ^ 2}) = \ alpha \ beta + \ beta \ gamma + \ gamma \ alpha + 2 \ sqrt {\ alpha \ beta \ gamma} (\ sqrt {\ gamma} + \ sqrt {\ alpha} + \ sqrt {\ beta}) [/ math]

Ahora para simplificar, tomemos [matemáticas] \ sqrt {\ alpha} + \ sqrt {\ beta} + \ sqrt {\ gamma} = p [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sqrt {\ alpha \ beta} + \ sqrt {\ beta \ gamma} + \ sqrt {\ gamma \ alpha} = q. [/ math] Y sabemos:

1. [matemáticas] \ alpha + \ beta + \ gamma = \ dfrac {-b} {a} [/ matemáticas]
2. [matemáticas] \ alpha \ beta + \ beta \ gamma + \ gamma \ alpha = \ dfrac {c} {a} [/ matemáticas]
3. [matemáticas] \ alpha \ beta \ gamma = \ dfrac {-d} {a} [/ matemáticas]

Entonces, las ecuaciones se reducen a:

1. [matemáticas] p ^ 2 = \ dfrac {-b} {a} + 2q [/ matemáticas]
2. [matemáticas] q ^ 2 = \ dfrac {c} {a} +2 \ sqrt {\ dfrac {-d} {a}} * p [/ matemáticas]

Tienes 2 ecuaciones con 2 incógnitas (p y q), que es solucionable. Esto puede parecer muy difícil a primera vista, pero una vez que se le dan los valores, creo que será más fácil de resolver. Entonces, una vez que obtenga p y q de las ecuaciones anteriores, obtenemos nuestra ecuación cúbica requerida.

Siéntase libre de comentar si tiene alguna duda.