¿Cuál será la ecuación de círculo que toca el eje y en (0,3) e intercepta una longitud de 8 unidades en el eje x?

Answer 1

En primer lugar:

A) El círculo toca el eje [matemático] Y [/ matemático] en [matemático] A (0,3) [/ matemático], lo que significa que [matemático] eje Y [/ matemático] es una línea tangente a él en [matemática] A [/ matemática], da como resultado que [matemática] E [/ matemática] está ubicada en una línea paralela a [matemática] Eje Y [/ matemática] y que pasa por [matemática] A [/ matemática]

B) Que el círculo se cruza con el eje matemático [matemático] [/ matemático] en [matemático] (8,0) [/ matemático], significa:

1) el punto C tiene [matemáticas] (0,8) [/ matemáticas] como coordenadas.

2) o El punto B es el que se encuentra en esas coordenadas.

El primer caso es rechazado por la primera condición, mientras que el segundo es aceptado.

Entonces, de acuerdo con la figura anterior, en el triángulo rectángulo [matemático] EDB, [/ matemático] encontramos que:

[matemáticas] ED ^ 2 + DB ^ 2 = EB ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas] significa que [matemáticas] 3 ^ 2 + (8-R) ^ 2 = R ^ 2 [/ matemáticas] , produce que [matemáticas] R = \ frac {73} {16} [/ matemáticas]

Entonces las coordenadas de [matemáticas] E [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] (R = \ frac {73} {16}, 3) [/ matemáticas]

Por lo tanto, la ecuación del círculo es:

[matemáticas] (x- \ frac {73} {16}) ^ 2+ (y-3) ^ 2 = \ frac {73 ^ 2} {16 ^ 2} [/ matemáticas]

Answer 2

Estoy teniendo problemas con los ingleses aquí.

Lo leeré para indicar cuál es la ecuación de un círculo que interseca [matemática] A (0,3) [/ matemática] y [matemática] B (8,0) [/ matemática].

Hagamos el problema general de un círculo que interseca [matemáticas] A (a, b) [/ matemáticas] y [matemáticas] B (c, d) [/ matemáticas].

Hay muchos de esos círculos. Sus centros se ubicarán a lo largo de la bisectriz perpendicular de [math] AB [/ math]. Llamemos al centro [matemáticas] C (x, y) [/ matemáticas]. Tiene que ser equidistante de [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas], es decir

[matemáticas] (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = (x – c) ^ 2 + (y – d) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 – 2ax + a ^ 2 + y ^ 2 – 2by + b ^ 2 = x ^ 2 -2cx + c ^ 2 + y ^ 2 -2dy + d ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 (db) y_c = c ^ 2 + d ^ 2 – a ^ 2 -b ^ 2 – 2 (c – a) x_c [/ matemáticas]

Agregué los subíndices para recordarnos que esta es la línea de posibles centros. Ignoraremos el caso sin pendiente y escribiremos

[matemáticas] y_c = \ dfrac {c – a} {db} x_c + \ dfrac {c ^ 2 + d ^ 2 – a ^ 2 -b ^ 2} {2 (db)} = m x_c + e [/ matemáticas ]

Necesitamos círculos de la forma

[matemáticas] (x-x_c) ^ 2 + (y-y_c) ^ 2 = r ^ 2 = (a-x_c) ^ 2 + (b-y_c) [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 – 2 x_c (x – a) + y ^ 2 – 2 y_c (y – b) = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 – 2 x_c (x – a) + y ^ 2 – 2 (m x_c + e) ​​(y – b) = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]

donde [matemáticas] m = \ dfrac {c – a} {db} [/ matemáticas] y [matemáticas] e = \ dfrac {c ^ 2 + d ^ 2 – a ^ 2 -b ^ 2} {2 (db) }[/matemáticas]

Este es un conjunto infinito de círculos, parametrizados por la coordenada [matemática] x [/ matemática] del centro, [matemática] x_c, [/ matemática] todos los cuales pasan por [matemática] A (a, b) [/ matemática ] y [matemáticas] B (c, d) [/ matemáticas].

Obviamente, esto debe verificarse, pero me tengo que ir.

Answer 3

Estoy interpretando ‘cortes 8 intersecciones’ como ‘cortes intersección de longitud 8’. Por lo tanto, hay tres puntos a través de los pasos del círculo, es decir, [matemática] (0,3) [/ matemática], [matemática] (a, 0) [/ matemática] y [matemática] (a + 8, 0) [/ matemáticas].

Además, el centro del círculo estará en la línea [matemática] y = 3 [/ matemática], ya que el eje y es la tangente al círculo.

La ecuación general de círculo con centro en [matemáticas] (b, c) [/ matemáticas] y radio [matemáticas] r [/ matemáticas] es

[matemáticas] (x – b) ^ 2 + (y – c) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

El centro se encuentra en [matemáticas] y = 3 [/ matemáticas] así que [matemáticas] c = 3 [/ matemáticas].

Al poner los puntos a través de los cuales pasa el círculo en la ecuación se obtendrán tres ecuaciones siguientes:

[matemáticas] b ^ {2} = r ^ {2} [/ matemáticas] o [matemáticas] b = \ pm r [/ matemáticas]

[matemáticas] (a – b) ^ 2 + 3 ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + 8 – b) ^ 2 + 3 ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

La segunda y tercera ecuación anterior dan

[matemáticas] (a – b) ^ 2 = (a + 8 – b) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a – b = \ pm (a + 8 – b) [/ matemáticas]

Como [matemáticas] a – b = a + 8 – b [/ matemáticas] no tiene sentido, entonces

[matemática] a – b = – (a + 8 – b) [/ matemática] o [matemática] 2 (a – b) = -8 [/ matemática] o [matemática] a – b = -4 [/ matemática]

Poner el valor de a – b en la segunda ecuación da

[matemáticas] 4 ^ 2 + 3 ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] r = \ pm 5 [/ matemáticas].

Tomando solo el valor positivo para el radio

[matemática] r = 5 [/ matemática], [matemática] b = \ pm 5 [/ matemática] y [matemática] c = 3 [/ matemática]

Entonces las ecuaciones de dos círculos obtenidas son

[matemáticas] (x – 5) ^ 2 + (y – 3) ^ 2 = 5 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 5) ^ 2 + (y – 3) ^ 2 = 5 ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 4

Claramente [matemáticas] y_m = 3 [/ matemáticas]

Además, [matemáticas] r ^ 2 = (3 ^ 2 + (8-x_m) ^ 2) = x_m ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 9 + 64 – 16x_m = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_m = \ frac {73} {16} [/ matemáticas]

[matemáticas] (x- \ frac {73} {16}) ^ 2 + (y – 3) ^ 2 = (\ frac {73} {16}) ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 5

El círculo toca el eje y en (0,3). Significa que el centro del círculo se encuentra en la línea y = 3.

El acorde es de 8 unidades en el eje x, que es la intersección del círculo en el eje x. La mitad del acorde es, por lo tanto, de 4 unidades. El radio del círculo es, por lo tanto, [4 ^ 3 + 3 ^ 2} ^ 0.5 = 5 unidades. Entonces el centro del círculo está en (5,3).

La ecuación del círculo es así

(x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 5 ^ 2 o

x ^ 2–10x + y ^ 2–6y + 9 = 0.