¿Cómo resolvería una ecuación como [matemáticas] x ^ {4} + 4x + 4 ^ {x} = 10235 [/ matemáticas] (o inserte cualquier otro número)?

Answer 1

Además de las respuestas ya dadas, algunos han mencionado el uso de Mathematica o Wolfram Alpha para encontrar una solución. La función de Mathematica FindRoot [] proporciona una solución numérica, pero creo que la manera más fácil y mejor de encontrar las soluciones (valor real y complejo) para la ecuación dada es mediante el uso de la función de Mathematica incorporada FindInstance [].

Las soluciones reales de la ecuación se pueden encontrar escribiendo:

FindInstance [x ^ 4 + 4 x + 4 ^ x == 10235, x, Reales, 2]

y el resultado o resultado dará las soluciones numéricas:

[matemáticas] x \ aprox – 10.068118924301 [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ aprox 6.518393544769 [/ matemáticas]

Reducir [] también se puede utilizar para encontrar las soluciones reales escribiendo:

Reducir [x ^ 4 + 4 x + 4 ^ x == 10235, x, Reales]

Aquí hay una gráfica que ilustra las soluciones (se puede obtener con la ayuda de Mathematica o Wolfram Alpha):

También se pueden encontrar soluciones valiosas complejas utilizando FindInstance [].

Por ejemplo, escribiendo:

FindInstance [x ^ 4 + 4 x + 4 ^ x == 10235, x, 10]

da como resultado diez soluciones complejas de valor para la ecuación en cuestión (una de estas soluciones podría ser una de las soluciones reales de la ecuación).

Como ejemplo, aquí hay algunas soluciones valiosas complejas:

x-> 0.0101291327584843960 + 10.0581966737403032226 i
x-> 16.80120534188975523 + 337.51731774693870160 i
x-> 16.00448199398996296-255.89812328846300295 i
x-> 15.79304372057570352 + 237.75752616273077979 i
x-> 14.50060160673640717-151.55883448609642961 i
x-> 16.10466594810027699-264.96791046812348115 i
x-> 17.26476650543193674-396.45593947995635603 i
x-> 19.44712558556591727-845.21878997824743426 i

Answer 2

¡Esta pregunta es divertida! Vamos a utilizar el método de Newton y algo de intuición (que explicaré)

El método de Newton es una función recursiva que aproxima los ceros de una función iterando cada vez más cerca de ellos. La fórmula sigue:

[matemáticas] x_ {i + 1} = x_ {i} – \ frac {f (x_ {i})} {f ‘(x_ {i})} [/ matemáticas]

La forma en que funciona es adivinar una [matemática] x_ {0} [/ matemática] y evaluar hasta la convergencia.

El método de Newton supone que f (x) = 0. Podemos reorganizar su función para que este sea el caso. Específicamente: [matemáticas] x ^ {4} + 4x + 4 ^ {x} -10235 = 0 [/ matemáticas]

El truco es adivinar buenos valores iniciales. Primero, averigüemos cuántos ceros es probable que tengamos. Afortunadamente para este ejemplo, tenemos sumandos bastante fáciles para lidiar con esa adquisición en diferentes extremos.

Vamos a tratar de elegir un buen punto de partida para cada cero. Supongamos cómo se ve la función al dibujar los sumandos:

En azul tenemos su función x ^ 4. El verde azulado es 4x. Rosa 4 ^ x. Agregué en la línea de puntos negros para representar su valor 10235.

Vea si puede adivinar cómo se ve este tipo cuando agrega Rojo Verde y Naranja juntos.

En el lado izquierdo tiene una función que es prácticamente cero y no aporta nada (y se puede ignorar para generar una buena suposición). Tienes un fuerte positivo agregado a un modesto valor negativo. Después de un momento, la x ^ 4 se hace cargo. Debe esperar que el 4x domine solo cerca de x = 0. Esto genera una caída negativa, no un cero para nosotros.

Para adivinar el cero a la izquierda, considere [matemática] x ^ {4} = 10235 [/ matemática] Es posible que pueda adivinar que [matemática] x = \ pm10 [/ matemática] es aproximadamente correcta. Usemos x = -10 (estamos en el lado izquierdo, recuerde).

En el lado derecho solo tiene funciones que aumentan monotónicamente. Ninguno de los términos resta, por lo que su suma solo aumentará con x. Esto significa que interceptamos su línea negra solo una vez.

A la izquierda tuvimos una intercepción a aproximadamente -10. En el lado derecho tendríamos el mismo término x ^ 4. A partir de eso, podemos intuir que la intersección será menor que 10. Estamos seguros de usar 10, sin embargo, convergerá porque estamos en una función monotónica.

Usemos Newton ahora:

Primero encuentre f (x): [matemáticas] x ^ {4} + 4x + 4 ^ {x} -10235 = 0 [/ matemáticas]

Ahora encuentre f ‘(x): [matemáticas] ln (4) 4 ^ {x} + 4x ^ {3} +4 [/ matemáticas]

Entonces, la fórmula completa nuevamente: [matemáticas] x_ {i + 1} = x_ {i} – \ frac {x_ {i} ^ {4} + 4x_ {i} + 4 ^ {x_ {i}} – 10235} { En (4) 4 ^ {x_ {i}} + 4x_ {i} ^ {3} +4} [/ matemática]

Ahora para un poco de excel! Usemos [matemáticas] x_ {0} = – 10 [/ matemáticas]

Mira lo rápido que convergió! (Teníamos una buena suposición)

Ahora usemos [matemáticas] x_ {0} = 10 [/ matemáticas]

No es una convergencia tan rápida, pero lo logramos.

En cualquier caso, sus respuestas son X = -10.06811892 y X = 6.518393545

Prima:

Si desea converger más rápido, puede haber adivinado que la función dominante en el lado derecho es [matemáticas] 4 ^ {x} [/ matemáticas]. Puede intentar eliminar el resto y adivinar en [matemáticas] 4 ^ {k} [/ matemáticas] = 10235.

Por supuesto, esto puede reescribirse como [matemáticas] 2 ^ {2k} [/ matemáticas] = 10235. Si conoce sus poderes de dos, puede adivinar que 10235 ocurre entre [matemáticas] 2 ^ {13} = 8192 [/ matemáticas ] y [matemáticas] 2 ^ {14} = 16384 [/ matemáticas] o k entre 6.5 y 7. Ambas conjeturas mucho mejores que 10.

Answer 3

Existen buenos algoritmos numéricos que pueden ayudarlo a obtener una aproximación decimal arbitrariamente buena. Mi favorito por su simplicidad (aunque no es el más rápido) es el enfoque de iteración de punto fijo.

Un punto fijo de una función satisface [math] x = f (x) [/ math]. Entonces necesitamos reescribir nuestra ecuación en esta forma para derivar alguna función [math] f [/ math]. Hay muchas maneras en que esto se puede hacer, y algunas no conducirán a un método iterativo convergente, por lo que necesitará un poco de prueba y error hasta que estudie el método con más cuidado.

Una forma de hacerlo es aislar el término exponencial y luego usar registros para escribir la ecuación original como:

[matemáticas] x = \ frac {\ log {(10235–4x-x ^ 4)}} {\ log {4}} [/ matemáticas]

Entonces tenemos la función [matemática] f (x) = \ frac {\ log {(10235–4x-x ^ 4)}} {\ log {4}} [/ matemática]. Y un punto fijo de esta función es una solución a la ecuación porque ese sería un punto para el cual [matemáticas] x = f (x) [/ matemáticas].

La idea es elegir una conjetura inicial como (por ejemplo), [matemáticas] x_0 = 0 [/ matemáticas]. Formamos la secuencia:

[matemáticas] x_ {n + 1} = f (x_n) [/ matemáticas]. Si esta secuencia converge a un número real, ese límite es un punto fijo. Podemos hacer varias iteraciones en una computadora muy rápidamente. Aquí están los primeros valores:

0 0
6.660611740955387
6.504233162879235
6.519739364781959
6.518265049476737
6.518405807812759
6.518392374387866
6.518393656469608
6.518393534108579
6.518393545786639
6.518393544672092
6.518393544778464
6.518393544768312
6.518393544769280
6.518393544769188
6.518393544769197
6.518393544769196

Vemos que la solución es convergente y, en 17 iteraciones, hemos alcanzado la precisión de la máquina.

Pero esta es solo una solución a la ecuación. Para encontrar la otra solución, necesitamos elegir una forma diferente de reescribir la ecuación original. Yo sugiero:

[matemáticas] g (x) = \ sqrt [3] {\ frac {10235-4 ^ x} {x} -4} [/ matemáticas]

La otra solución es negativa, y no podemos comenzar con una suposición inicial de cero ya que [math] g (0) [/ math] no está definido. Sugiero usar una conjetura inicial de [math] x_0 = -1 [/ math].

-1.000000000000000
-21.714457297318489
-7.804342091023154
-10.956993035554476
-9.789279699702364
-10.162451559851842
-10.036992559154852
-10.078475107951427
-10.064682753627675
-10.069260085494539
-10.067740056794555
-10.068244721659601
-10.068077156545476
-10.068132792357371
-10.068114319738131
-10.068120453140496
-10.068118416685628
-10.068119092843338
-10.068118868340798
-10.068118942881677
-10.068118918132100
-10.068118926349625
-10.068118923621187
-10.068118924527100
-10.068118924226313
-10.068118924326182
-10.068118924293024
-10.068118924304033
-10.068118924300377
-10.068118924301592
-10.068118924301189
-10.068118924301322
-10.068118924301277
-10.068118924301292
-10.068118924301288
-10.068118924301290

Vemos que se necesitan más iteraciones para converger, pero aún hemos encontrado una buena aproximación para la segunda solución.

Answer 4

Lo arrojaría a Mathica, como:

Resolver [x ^ 4 + 4 x + 4 ^ x – 10235 == 0, x]

Eso me da un mensaje de error. Lo que me dice que la solución exacta no puede determinarse mediante manipulación algebraica (o al menos, sería bastante difícil). Eso significa que o tienes que resolver esto numéricamente, o tienes que esperar una conjetura muy afortunada.

Tratar de encontrar el valor numérico da

NSolve [x ^ 4 + 4 x + 4 ^ x – 10235 == 0, x]

Da otro mensaje de error. Hay más opciones disponibles, pero para eso primero tenemos que mirar el gráfico:

Motor de conocimiento computacional

Y tenga en cuenta que la raíz de esta función se encuentra más o menos cerca de 6.5, lo que me da la posibilidad de tratar de encontrar esa estimación numérica:

FindRoot [x ^ 4 + 4 x + 4 ^ x – 10235, {x, 6.4}]

Y eso da la respuesta x_0 = 6.51839, encontrar más dígitos es simplemente una cuestión de aumentar la potencia de cálculo.

La razón por la que inmediatamente salté a un programa matemático es porque sé la solución a las ecuaciones de la forma [matemática] N ^ x + ax = 0 [/ matemática]. Esta ecuación se resuelve mediante:

[matemáticas] x \ a – \ frac {\ text {PRODUCTLOG} (\ frac {\ log (N)} {a})} {\ log (N)} [/ math]

La función PRODUCTLOG está bien definida, pero no tiene una buena expresión. De hecho, esta función (Log de producto de N) se define simplemente como la inversa de la ecuación [matemática] N e ^ x + x = 0 [/ matemática].

En general, cuando tiene una ecuación que solo se puede resolver mediante el uso de esas fórmulas ‘por definición’, complicar la ecuación no hace que la respuesta sea milagrosamente más fácil (por supuesto, existen excepciones). De hecho, existe una gran posibilidad de que la solución se vuelva varias veces más complicada. En ese momento, es mejor usar una estimación numérica.

Answer 5

Por lo general, si tiene un desconocido que aparece tanto en el exponente como en un polinomio, en la mayoría de los casos no podrá resolverlo analíticamente, sino que tendrá que buscar una solución numérica. En cuanto a las calculadoras en línea, podría decirse que la más conocida sería WolframAlpha, que en este caso particular afirma que tendrá dos soluciones: [matemáticas] x \ aprox -10.07 [/ matemáticas] y [matemáticas] x \ aproximadamente 6.52 [/ matemáticas]. (Ver solución)

Si desea comenzar a aprender más sobre cómo se puede resolver numéricamente una ecuación de este tipo, le diría al artículo de Wikipedia sobre el método de Newton.

Answer 6

A pesar del gran número, simplemente dibujaría la gráfica de

y = x ^ 4 + 4x + 4 ^ x – 10235 preferiblemente usando el programa AUTOGRAPH.

Haga clic en el gráfico y elija la opción “f (x) = 0” para encontrar los lugares que cruza el eje x. Listo……