Las dos raíces de una ecuación [matemáticas] x ^ 3 – 9x ^ 2 + 14x + 24 = 0 [/ matemáticas] están en la relación [matemáticas] 3: 2 [/ matemáticas]. ¿Entonces las raíces de la ecuación son?

Answer 1

Deje que las dos raíces en la proporción [matemáticas] 2: 3 [/ matemáticas] sean [matemáticas] 2k, 3k. [/ Matemáticas]

Es fácil ver que [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas] es una solución.

Si [math] -1 = 2k [/ math], la otra raíz será [math] \ dfrac {-3} {2}. [/ Math]

De lo contrario, si [matemáticas] -1 = 3k [/ matemáticas], entonces la otra raíz será [matemáticas] \ dfrac {-2} {3}. [/ Matemáticas]

Por el teorema de la raíz integral sabemos que dado que el coeficiente principal es [matemática] 1 [/ matemática], cualquier raíz racional será un número entero. Por lo tanto, [math] -1 [/ math] no es una de las dos raíces que queremos encontrar.

De las fórmulas de Vieta, sabemos

[matemáticas] \ alpha + \ beta + \ gamma = – \ dfrac {b} {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] -1 + 2k + 3k = – (- 9) / 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5k = 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] k = 2 [/ matemáticas]

Entonces, las raíces son [math] \ boxed {4,6}. [/ Math]

---

Sé que esto puede parecer más largo y peor que una división larga, pero si no tiene que escribir una solución, entonces esto es mucho más rápido.

Answer 2

Se puede hacer una observación muy útil a partir de la ecuación dada. Podemos ver directamente que poner [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas] satisface la ecuación. Una vez que esto se sepa, encontrar las raíces restantes de la ecuación será sencillo. Aunque tenemos una condición, si no es absolutamente obligatorio usarla, preferiría no hacerlo.

Creo que el trabajo restante es fácil. Divida el polinomio por [math] (x + 1) [/ math] para obtener un polinomio cuadrático cuyas raíces se puedan encontrar de manera relativamente fácil.

[matemáticas] x ^ 3 – 9x ^ 2 + 14x + 24 = (x + 1) (x ^ 2 – 10x + 24) [/ matemáticas]

La expresión cuadrática es mucho más fácil de factorizar, y podemos obtener la respuesta.

Raíces: [matemáticas] x = -1, 4, 6 [/ matemáticas]

Answer 3

Cuando factorice la ecuación, obtendrá (× + 1) (× ^ 2-10 × + 24). Una factorización adicional resultará en (× + 1) (× -4) (× -6), por lo que se requieren raíces de la ecuación dada son 4 y 6.

Answer 4

Answer 5

Deje que [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas], [matemáticas] c [/ matemáticas] sean las raíces de la ecuación [matemáticas] x ^ 3 – 9x ^ 2 + 14x + 24 = 0 [ /matemáticas]. entonces lo siguiente es verdad

[matemáticas] a + b + c = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] ab + bc + ca = 14 [/ matemáticas]

[matemáticas] abc = -24 [/ matemáticas]

Deje que [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] sean las dos raíces que en la proporción dada [matemática] 3: 2 [/ matemática], entonces

[matemáticas] 2a = 3b [/ matemáticas]

poniendo esto las ecuaciones anteriores

[matemáticas] 5b + 2c = 18 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3b ^ 2 + 5bc = 28 [/ matemáticas]

[matemáticas] 6b ^ 2 + 5b (18 – 5b) = 56 [/ matemáticas]

[matemáticas] 19b ^ 2 – 90b + 56 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 19b ^ 2 – 76b -14b + 56 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 19b (b – 4) – 14 (b – 4) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (19b – 14) (b – 4) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] b = \ frac {14} {19}, 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] c = \ frac {136} {19}, -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a = \ frac {21} {19}, 6 [/ matemáticas]

[math] (a, b, c) = (\ frac {21} {19}, \ frac {14} {19}, \ frac {136} {19}) [/ math] no satisface [math] abc = -24 [/ matemáticas]

entonces las raíces son [matemáticas] 6 [/ matemáticas], [matemáticas] 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] -1 [/ matemáticas].

Answer 6

¿No crees que la pregunta está formulada un poco incorrectamente? ¿No debería indicar que algo así como dos de las tres raíces están en la relación [matemáticas] 2: 3 [/ matemáticas].

Factoring es la forma más fácil de hacerlo.

Poner [math] x = -1 [/ math] hace que el polinomio evalúe a [math] 0 [/ math].

[matemáticas] x ^ 3–9x ^ 2 + 14x + 24 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 3 + x ^ 2–10x ^ 2 + 14x + 24 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 (x + 1) – (10x ^ 2–14x-24) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 (x + 1) -2 (5x ^ 2–7x-12) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 (x + 1) -2 (5x ^ 2–12x + 5x-12) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica x ^ 2 (x + 1) -2 \ {x (5x-12) +1 (5x-12) \} = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 (x + 1) -2 (5x-12) (x + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x + 1) (x ^ 2–10x + 24) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x + 1) (x-4) (x-6) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = -1,4,6 [/ matemáticas]