Cómo trabajar pon la ecuación de una línea usando dos puntos y la ecuación de un círculo

Answer 1

b) Comencemos con la ecuación de línea estándar “y = mx + b”, donde m es la pendiente y b es el desplazamiento / sesgo / lo que sea. Para obtener la pendiente perpendicular, calcule la pendiente de AB y luego tome su recíproco negativo . Esto tiene sentido matemáticamente, pero por ahora solo imagina y = 2x e y = -. 5x y con suerte tiene sentido en tu cabeza. Una vez que haya descubierto la pendiente de su línea, simplemente conecte las coordenadas x e y para el punto B para descubrir la “b” en nuestra ecuación.

c) La ecuación derivada en b) le da una línea que pasa a través del círculo en 2 puntos: B y “C”, que es el punto en cuestión. El triángulo “ABC” está encerrado por completo dentro del círculo, con AC como diámetro. Usando esta ecuación, puede sustituir en la ecuación original provista en la parte a) para obtener un valor para x, y luego conectarlo a la ecuación de línea para determinar y.

Answer 2

Para la parte b) necesitas encontrar el gradiente (pendiente) de la línea AB. La línea perpendicular tendrá un gradiente que es el recíproco negativo del gradiente de AB. Con el gradiente de esta línea y un punto, deberías poder obtener la ecuación.

Para la parte c) lo que necesita saber es que si A, B y C son puntos en un círculo y AC es el diámetro, entonces el ángulo ABC es un ángulo recto. Usando esto, todo lo que necesita hacer es encontrar la coordenada donde la línea que encontró en b) cruza el círculo nuevamente. Esto significa sustituir la y en la ecuación de la línea en el valor de y en la ecuación del círculo y resolver la cuadrática (donde ya tiene un valor de x, es decir, 4).

Answer 3

Nota: Dado que su pregunta solicita el método de resolución, ignoro deliberadamente los parámetros del problema, para no dar realmente la solución.

Para encontrar la ecuación de la línea perpendicular a [math] AB [/ math], solo necesita notar que cuando escribe la ecuación de una línea (vector) como

[matemática] hacha + por = 0 [/ matemática],

puedes reescribirlo como una ecuación vectorial:

[matemáticas] (a, b) • (x, y) = 0 [/ matemáticas], (• siendo el producto punto)

lo que significa que el vector [math] ~ (a, b) ~ [/ math] es perpendicular a [math] ~ (x, y) ~ [/ math] (o [math] ~ (x, y) = (0,0 ) ~ [/ math] pero [math] ~ (x, y) ~ [/ math] se refiere a * todos * los puntos de la línea),

por lo tanto, [math] ~ (a, b) ~ [/ math] es un vector de dirección de la línea perpendicular. (y dado que el término independiente no afecta la pendiente de la línea, aún funciona cuando ese término no es cero)

Para la parte final de la pregunta, si bien se le pide que use la ecuación de la línea perpendicular para encontrar C, creo que es aburrido, por lo que proporcionaré algunas formas adicionales de encontrarla.

La solución prevista:

En la imagen, tenemos esencialmente la misma situación que en el problema, pero con diferentes coordenadas y ecuaciones.

Como puede ver, C es la intersección del círculo y la línea cuya ecuación acabamos de descubrir en b) . Puedes usar Thales y algunas propiedades del círculo para demostrarlo. Encontrar C es solo una cuestión de resolver un sistema de ecuaciones.

Otras soluciones:

Una solución es reescribir la ecuación del círculo como

[matemáticas] (x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

donde [math] ~ (x_0, y_0) ~ [/ math] es el centro del círculo y [math] ~ r ~ [/ math] es su radio.

Desde allí, puede encontrar la ecuación de la línea que pasa por A y el centro del círculo, y encontrar la intersección de esa línea con el círculo;

O

Puede notar que C es la imagen de A por simetría del centro [matemáticas] ~ (x_0, y_0) [/ matemáticas], lo que significa que

[matemáticas] C = (x_0-x_a, y_0-y_a) [/ matemáticas]

donde [math] ~ (x_a, y_a) ~ [/ math] son ​​las coordenadas de A en relación con [math] ~ (x_0, y_0) [/ math].

(Encuentro esta forma de encontrar C mucho más elegante, ya que evita los tediosos cálculos de encontrar las ecuaciones)

Answer 4

PARTE B :
Conoces las coordenadas de A y B. Encuentra la pendiente de AB que resulta ser (-1)
Como necesitas encontrar la pendiente de una línea perpendicular a B, di la línea L.
escribe la ecuación como y = mx + c

como L es perpendicular a AB. m = -1 / (pendiente de AB) = 1

usa las coordenadas del punto B para encontrar c

PARTE C:

Puedes encontrar el centro del círculo O (1, -1). Escribe la ecuación de la línea AO. cual es

y = -3x + 2.
sustituto (x, -3x + 2) en la ecuación del círculo. Obtendrás un cuadrático en x.
Suma de raíces de la ecuación (-b / 2a) = 0 + coordenada x del diámetro.

Como saben, la línea AO se intersecará en A y en el punto diametralmente opuesto. Ahora obtenga la coordenada y del punto diametralmente opuesto de A.
Ta da !!

Espero que ayude

Answer 5

Dibuja un diagrama para ayudarte a visualizar el problema.

Answer 6

Preliminar:

Al completar los cuadrados, la ecuación dada puede reescribirse como

[matemáticas] \ displaystyle (x-1) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 10 [/ matemáticas]

y, por lo tanto, [matemáticas] P (1, -1) [/ matemáticas] es el centro del círculo. Entonces, una línea que pasa por este punto es un diámetro.

Dado que [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] se encuentran en el círculo, una línea que pasa por el centro que es perpendicular al acorde [matemática] AB [/ matemática] es un diámetro.

Ahora a la parte (b):

Debería poder descubrir fácilmente la pendiente [matemática] m_1 [/ matemática] de la línea que pasa por [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática].

A continuación, debe recordar que la pendiente [matemática] m_2 [/ matemática] de una línea perpendicular satisface

[matemáticas] \ displaystyle m_1 m_2 = -1 [/ matemáticas]

Esto simplifica la obtención de las coordenadas de dos puntos posibles [matemática] C_1 [/ matemática] y [matemática] C_2 [/ matemática] en una línea de diámetro perpendicular a [matemática] AB [/ matemática].