Se puede encontrar una fórmula general para la función cúbica siguiendo la simplificación. ¿Alguien puede intentar encontrarlo?

Answer 1

Sustitución de Vieta

Nos estamos refiriendo a las ecuaciones en forma de [matemáticas] x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

Si no está en esta forma, puede transformarse fácilmente en la forma dividiendo el coeficiente del término [matemática] x ^ 3 [/ matemática]. Luego sustituya [matemáticas] x = y- \ frac {a} {3} [/ matemáticas]

Si realmente hace el cálculo, debe tener una ecuación en la forma cúbica deprimida [matemática] y ^ 3 + py + q = 0 [/ matemática] donde [matemática] p = b- \ frac {a ^ 2} {3 } [/ matemáticas] y [matemáticas] q = \ frac {2a ^ 3} {27} – \ frac {ab} {3} + c [/ matemáticas]

Esta sustitución se conoce bastante temprano, pero debe sustituir [math] y = z- \ frac {p} {3z} [/ math], lo cual no es tan fácil de pensar.

Entonces deberías obtener algo como [matemáticas] z ^ 6 + qz ^ 3- \ frac {p ^ 3} {27} = 0 [/ matemáticas]. ¡ECUACIÓN CUADRÁTICA!

Luego resuelva para z, (solo una solución servirá) e introduzca otra constante llamada raíz cúbica de la unidad donde [matemáticas] \ omega = \ frac {1} {2} + \ frac {\ sqrt {3}} {2} i [/matemáticas]

La raíz de la ecuación original será [matemáticas] z_1- \ frac {p} {3z_1} – \ frac {a} {3}, \; \; \ omega z_1- \ frac {p} {3 \ omega z_1} – \ frac {a} {3}, \; \; \ omega ^ 2 z_1 – \ frac {p} {3 \ omega ^ 2 z_1} – \ frac {a} {3} [/ math].

Método numérico

En realidad, esto se puede aplicar a todas las ecuaciones de tipo polinomial (definitivamente para las de grado impar, pero para las ecuaciones de grado par, si tiene raíces reales). No sé si hay un nombre para eso.

Nuevamente, nos estamos refiriendo a las ecuaciones en forma de [matemáticas] x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas].

Luego tenemos una solución aproximada para x, por ejemplo [math] x_0 [/ math]. Luego usamos la división larga polinómica para dividir la ecuación original por [matemática] (x-x_0) ^ 2 [/ matemática]. Después de eso, obtienes el cociente [matemáticas] Px + Q [/ matemáticas], y el resto [matemáticas] px + q [/ matemáticas]. Luego elegimos [matemáticas] x_1 = – \ frac {q} {p} [/ matemáticas], que es una mejor estimación de la ecuación. Para obtener una estimación aún mejor, simplemente divida la ecuación original entre [matemáticas] (x-x_1) ^ 2 [/ matemáticas], y repita el proceso nuevamente. Puede obtener la solución con bastante rapidez.

¡Creo que estos dos métodos no se mencionan en las respuestas de otros y espero que esto pueda ayudarlo!

Answer 2

Hay una fórmula que fue encontrada hace unos 100 años por un científico iraní llamado Musa Nasri. La fórmula se puede dar según los seguidores. Voy a obtener de la Biblioteca Nacional de Irán y publicar aquí pronto:

Cualquier función cúbica con 3 raíces de a, b, c se puede escribir como:

(xa) (xb) (xc) = 0

o:

x ^ 3- (a + b + c) x ^ 2 + (ab + bc + ac) x-abc = 0

al considerar los siguientes sustitutos:

3B = – (a + b + c)

3C = ab + bc + ac

D = -abc

se puede expresar como:

x ^ 3 + 3Bx ^ 2 + 3Cx + D = 0

Ahora, mediante esta simplificación, se pueden encontrar muchas ideas para extraer las raíces de la función cúbica. Por cierto, la fórmula no necesita convertirse a una función cuadrática.