Para cualquier curva de la forma [matemática] F (x, y) [/ matemática] [matemática] = 0 [/ matemática] para algún polinomio [matemática] F [/ matemática], ser singular significa que las derivadas [matemática] \ frac {\ partial F} {\ partial x} [/ math] y [math] \ frac {\ partial F} {\ partial y} [/ math] se desvanecen simultáneamente.
En caso de que la ecuación tenga la forma [matemática] y ^ 2-p (x) = 0 [/ matemática], la derivada con respecto a [matemática] x [/ matemática] es solo [matemática] -p ‘(x) [ / math] y la derivada con respecto a [math] y [/ math] es [math] 2y [/ math]. Si desaparecen simultáneamente en [math] (x_0, y_0) [/ math] debemos tener [math] 2y_0 = [/ math] [math] 0 [/ math], entonces [math] p (x_0) = 0 [/ matemáticas] y además [matemáticas] p ‘(x_0) = 0 [/ matemáticas]. Esto es lo mismo que decir que [math] x_0 [/ math] es una doble raíz del polinomio [math] p [/ math]: es una raíz donde la derivada también desaparece, lo que equivale a decir que [math] p [/ math] es divisible por [math] (x-x_0) ^ 2 [/ math]. Este es un hecho estándar sobre polinomios con los que debería estar familiarizado; si no lo eres, pruébalo o aprende sobre raíces con multiplicidades.
Así que ahora necesitamos descubrir, bajo qué condición en [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] el polinomio [matemáticas] x ^ 3 + Ax + B [/ matemáticas] tiene múltiples raíces.
Llamemos a las raíces [matemáticas] u, v, w [/ matemáticas]. Entonces tenemos
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[matemáticas] x ^ 3 + Hacha + B = (xu) (xv) (xw) [/ matemáticas]
Expandiendo el producto (o usando las fórmulas de Vieta) encontramos que
- [matemáticas] u + v + w = 0 [/ matemáticas]
- [matemáticas] uv + uw + vw = A [/ matemáticas]
- [matemáticas] uvw = -B [/ matemáticas]
Esas son las funciones simétricas elementales de [math] u, v, w [/ math], pero no se preocupe si no está familiarizado con la terminología. La clave es ver que estas ecuaciones son verdaderas simplemente expandiendo el producto en el lado derecho.
Otro hecho útil para saber es que cualquier función simétrica en [math] u, v, w [/ math] puede expresarse usando estos elementales. Nuevamente, no necesita saber esto, pero es bueno saberlo.
Necesitaremos calcular la función específica
[matemáticas] \ Delta = (uv) ^ 2 (uw) ^ 2 (vw) ^ 2 [/ matemáticas]
¿Por qué esta función? Bueno, claramente tiene dos propiedades agradables: [matemática] \ Delta = 0 [/ matemática] precisamente cuando dos de las raíces son iguales, y es simétrica, lo que significa que permanece igual si permutamos los valores de [matemática] u , v, w [/ matemáticas].
Todo lo que queda por hacer es comparar dos expresiones. Una es la expresión para [matemática] \ Delta [/ matemática], cuando sustituimos [matemática] w = – (u + v) [/ matemática] (recuerde de la ecuación 1 anterior que [matemática] u + v + w = 0 [/matemáticas]). La segunda es la expresión
[matemáticas] 4A ^ 3 + 27B ^ 2 = 4 (uv + uw + vw) ^ 3 + 27 (uvw) ^ 2 [/ matemáticas]
Una vez más, con la sustitución [matemáticas] w = – (u + v) [/ matemáticas]. Puede ver que ambas expresiones son polinomios de grado 6 en las variables [math] u, v [/ math], y al expandirlas verá que son iguales (hasta el signo).
Por lo tanto, la condición [matemática] 4A ^ 3 + 27B ^ 2 = 0 [/ matemática] expresa exactamente el escenario donde coinciden dos de las raíces [matemática] u, v, w [/ matemática], que es lo mismo que decir que la curva [matemáticas] y ^ 2 = (xu) (xv) (xw) [/ matemáticas] es singular.