Considere una ecuación diferencial de orden [matemática] \; n \; [/ matemática], con coeficientes variables donde la variable independiente es [matemática] \; \; x \; \; [/ matemática] y la variable dependiente es [matemática] \ ; \; y \ ;. [/ math]
Se puede escribir en la forma [matemáticas] \; \; F \ big (x, y, y ^ {‘}, y ^ {‘ ‘}, …, y ^ {(n)} \ big) \; = \; 0 \; \; [/ math] ………………………………………………………………… ..… (1)
donde [math] \; F \; [/ math] es una función de [math] \; \; n + 2 \; \; [/ math] variables [math] \; \; [/ math] [math] x, y, y ^ {‘}, y ^ {‘ ‘}, …, y ^ {(n)} \ ;. [/ math]
Clasificamos la ecuación (1) de acuerdo con la naturaleza de la función [matemáticas] \; \; F () \;, \; [/ math] la variable dependiente y sus derivados [math] \; n \; [/ math].
- ¿Existe una ecuación que pruebe que la energía siempre se conservará?
- ¿Qué haces cuando ambos resultados de una ecuación cuadrática son positivos?
- ¿Cuál es la función cuadrática que se crea con raíces en 2 y 4 y un vértice en (3, 1)?
- ¿Hay algún método breve para resolver la ecuación cuadrática 8x ^ 2-78x + 169?
- ¿Cuál es la ecuación para el óxido de hierro? ¿Cómo se determina esto?
Si [math] \; \; F () \; \; [/ math] es una función no lineal de sus variables [math] \; \; n + 2 \; \; [/ math], decimos que La ecuación (1) es no lineal.
If [math] \; \; F \ big (x, y, y ^ {‘}, y ^ {‘ ‘},…, y ^ {(n)} \ big) \; [/ math]
[matemáticas] \; \; \; \; = \; a_ {0} (x) + a_ {1} (x) y + a_ {2} (x) y ^ {‘} + a_ {3} (x ) y ^ {3} +… + a_ {n} (x) y ^ {(n)} \;, \; [/ math]
entonces (1) se llama ecuación lineal.
Aquí [matemáticas] \; \; a_ {0} (x) \;, \; a_ {1} (x) \;, \; a_ {2} (x) \ ;,… [/ math] tienen funciones de [math] \; x \;. \; [/matemáticas]
Tenga en cuenta que en este caso, la potencia de la variable dependiente y cada una de sus derivadas [math] \; n \; [/ math] es una y estas variables no se multiplican.
es decir, [matemáticas] \; \; F \ big (x, y, y ^ {‘}, y ^ {‘ ‘},…, y ^ {(n)} \ big) \; [/ math] es un polinomio de primer grado (para cada valor constante de [math] \; \; x \; \; [/ math]) cuando se considera como una función de [math] \; \; y, y ^ {‘}, y ^ {‘ ‘},…, y ^ {(n)} \;. \; [/ math]…. …………………… .. (2)
Si [math] \; \; F \ big (x, y, y ^ {‘}, y ^ {‘ ‘},…, y ^ {(n)} \ big) \; \; [/ math] puede expresarse como
[matemáticas] \; \; \; y ^ {(n)} \; + \; [/ matemáticas] [matemáticas] G [/ matemáticas] [matemáticas] \ big (x, y, y ^ {‘}, y ^ {”},…, Y ^ {(n-1)} \ big) \; = \; 0 \; \; [/ math] …………… .. ……………………… ……… .. (3)
donde [math] \; \; G () \; \; [/ math] es una función no lineal de sus variables [math] \; \; n + 1 \; \; [/ math], decimos que La ecuación (1) es casi lineal.
Tenga en cuenta que la ecuación cuasi lineal es un caso especial de ecuación no lineal, pero es lineal en función de la derivada de orden más alto.
Ejemplos de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes variables:
(yo). [matemáticas] \; \; \; \ sin \; ([/ matemáticas] [matemáticas] x – y + y ^ {‘}) + \ cos \; (x + y ^ {‘ ‘}) \; = \; 0 [/matemáticas]
(ii) [matemáticas] \; \; \; ((x + y + y ^ {‘}) ^ {3} \; + \; (1 + 2x + y ^ {‘ ‘}) ^ {2} \; = \; 0 [/ matemáticas]
(iii) [matemáticas] \; \; \; 1 \; + \; x ^ {3} \; + \; 2xy- (x + 2) y ^ {‘} \; – \; 3xy ^ {‘ ‘} = \ ; 0 \; [/ matemáticas]
(iv) [matemáticas] \; \; \; ((x \; + \; y \; – \; y ^ {‘}) ^ {3} \; + \; \ cos \; x ^ {2} + y ^ {”} \; = \; 0 [/ math]
(v) [matemáticas] \; \; \; 2 \; + \; 3 \; \ sin \; x \; + \; 14y \; – \; 5 y ^ {‘} \; – \; 7 y ^ {‘ ‘} \; = \; 0 [/ math]
(vi) [matemáticas] \; \; \; \ sin \; (x + y + y ^ {‘}) \; + \; y ^ {”} \; = \; 0 [/ math]
Aquí (i) y (ii) son ecuaciones no lineales.
(iii) y (v) son ecuaciones lineales . Aquí la ecuación (v) también se llama ecuación lineal con coeficientes constantes.
(iv) y (vi) son ecuaciones cuasi lineales.
Todas estas definiciones pueden modificarse adecuadamente para el caso de ecuaciones diferenciales parciales también.