¿Cuál es la función cuadrática que se crea con raíces en 2 y 4 y un vértice en (3, 1)?

Answer 1

La ecuación estándar de una parábola es:

[matemáticas] y = a (xh) ^ 2 + k [/ matemáticas]

El vértice es [matemáticas] (3,1), [/ matemáticas] esto hace que la ecuación se vea como

[matemáticas] y = a (x-3) ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

Al conectar [math] x = 2 [/ math], debemos tener [math] y = 0 [/ math]

[matemáticas] a (2–3) ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a = -1 [/ matemáticas]

Entonces la ecuación es [matemáticas] y = – (x-3) ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

Puede conectar [matemática] x = 4, y = 0 [/ matemática] y verificar que obtenga la misma respuesta. Explica por qué la parábola es simétrica.

Ahora expanda para obtener la ecuación cuadrática

[matemáticas] y = – (x ^ 2–6x + 9) + 1 = -x ^ 2 + 6x-8 [/ matemáticas]

Entonces la respuesta es [matemáticas] \ boxed {y = -x ^ 2 + 6x-8} [/ math]

Espero que esto ayude.

Answer 2

Sabemos que [math] x [/ math] del vértice es el promedio de las raíces (realmente ceros), debido a [math] \ pm [/ math] en la fórmula cuadrática. Los ceros son donde la parábola se cruza con el eje [matemática] x [/ matemática], por simetría la [matemática] x [/ matemática] del vértice debe ser el punto medio entre los ceros. También sabemos por la fórmula cuadrática o en otro lugar el vértice [matemática] x = -b / 2a [/ matemática] para [matemática] f (x) = ax ^ 2 + bx + c. [/ Matemática]

[matemáticas] f (x) = s (x-2) (x-4) = s (x ^ 2 -6x +8) = sx ^ 2 -6sx + 8s [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] -b = 6s, [/ matemáticas] [matemáticas] a = s, [/ matemáticas] vértice [matemáticas] x = 6s / (2s) = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (3) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] s (9–18 + 8) = -s = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] s = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = – (x-2) (x-4) [/ matemáticas]

Verifique: Ceros en [matemática] x = 2 [/ matemática] y [matemática] x = 4. [/ matemática] Obvio. [matemáticas] \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

[matemáticas] f (3) = – (1) (- 1) = 1. \ quad \ marca de verificación [/ math]

[matemáticas] f (x) = – (x ^ 2 -6x + 8) = – x ^ 2 + 6x-8 [/ matemáticas]. Vértice en x [matemáticas] = – b / 2a = -6 / -2 = 3 \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

Answer 3

Mientras lees esta respuesta, dibuja las funciones que aparecen.

Podemos obtener esta parábola tomando primero [matemáticas] f (x) = x ^ 2 [/ matemáticas] y haciéndole dos cosas:

1. Volteándolo boca abajo,
2. Desplazándolo “a la derecha” por 3 unidades, y
3. Moviéndolo “hacia arriba” en 1 unidad.

Entonces, cambiamos [matemática] f (x) [/ matemática] a [matemática] -f (x) [/ matemática] a [matemática] -f (x-3) [/ matemática] a [matemática] -f ( x-3) +1 [/ matemáticas].

Vamos a comprobar que la parábola obtenida [matemáticas] g (x) = -f (x-3) +1 = – (x-3) ^ 2 + 1 [/ matemáticas] realmente tiene las propiedades deseadas. Por cálculo directo:

[matemáticas] g (2) = 0, g (4) = 0 [/ matemáticas],

y [math] g (x) [/ math] alcanza su valor máximo, 1, en [math] x = 3 [/ math] por consideraciones de simetría y por el hecho de que los valores de [math] g [/ math] en todas partes más son <1.

Answer 4

El tipo que tenía delante se equivocó, creo.

Aquí está la cosa: sabes que el valor es 0 cuando x = 2 o x = 4. Entonces su parábola debería verse así:

f (x) = a (x-2) (x-4), es decir f (x) = a (x ^ 2–6x + 8)

Ahora sabes que el vértice es (3,1). Esto significa que f (3) = 1, entonces a (9–18 + 8) = – a = 1, y por lo tanto a = -1.

Entonces su ecuación es f (x) = – x ^ 2 + 6x-8

Answer 5

Puede encontrar la función utilizando dos métodos :

• Usando la forma estándar de una ecuación cuadrática
• Usando la forma de vértice

Aquí hay una imagen de cómo resolver usando ambos:

Método 1

y…

Método 2:

PD: ¡espero que puedas leer mi letra! Lo siento, hay mucho blanqueamiento.

Answer 6

sea ​​y = a (x — 2) (x — 4) la forma del factor, conectando (3,1), 1 = a * 1 * -1 »a = —1, entonces eqn. es y = – (x-2) (x-4) o en forma general y = —x² + 6x — 8, en forma de vértice y = a (xp) ² + q} o y = – (x-3) ² + 1 con vértice (p, q), iey = -1 / 3 {(x-3) ²-3}

Answer 7

Otra forma de atacar este tipo de problemas es usar herramientas como WolframAlpha: Computational Knowledge Engine (el enlace lleva a responder a esta pregunta, donde también puede ver cómo puede formular preguntas como estas)

Usar WolframAlpha es útil cuando el objetivo es encontrar la función real, menos cuando el objetivo es aprender a encontrar la función a mano.

Answer 8

Entonces, tenemos eso

f (x) = a (x – 2) (x – 4) = a (x – 3) ^ 2 + 1 = 0 cuando x es 2 o 4. Tomando la segunda ecuación vemos que a (x – 3) ^ 2 = -1 que implica que (x – 3) ^ 2 = -1 / a que implica que a es negativo ya que tenemos raíces reales. Un momento de aviso debe revelar que a = -1 ya que produce (x – 3) ^ 2 = 1 y mediante la sustitución de x 2 y 4, confirmamos que (2 – 3) ^ 1 = 1 y (4 – 3 ) ^ 2 = 1.

Entonces, en conclusión, f (x) = -1 (x – 3) ^ 2 + 1, mejor escrito f (x) = – (x – 3) ^ 2 + 1, satisface las condiciones dadas.