¿Cuál es la ecuación de la elipse que forma la cuña de un cilindro?

Answer 1

EDITAR: Tenga en cuenta a continuación que utilicé [math] \ theta [/ math] como un ángulo con el eje horizontal [math] X [/ math], no el vertical como se especifica; ¡Uy! Esos cotangentes probablemente se vuelven tangentes si se hacen según lo especificado. Eventualmente puedo actualizar.

El diagrama confunde un poco el radio y el diámetro; iremos con radio.

Comencemos con el sistema de coordenadas bidimensional con el centro de la elipse en el origen, y los ejes [math] x [/ math] y [math] y [/ math] a lo largo de los ejes mayor y menor de la elipse, respectivamente . Dado que el eje mayor es [matemática] 2R [/ matemática] y el eje menor [matemática] 2r, [/ matemática] en estas coordenadas la elipse es

[matemática] \ left (\ dfrac x R \ right) ^ 2 + \ left (\ dfrac yr \ right) ^ 2 = 1 [/ math]

La forma paramétrica es más fácil de transformar, así que escribamos esto como

[matemáticas] x = R \ cos t [/ matemáticas]

[matemáticas] y = r \ sen t [/ matemáticas]

y verifique que estos puntos estén en la elipse a través de

[matemáticas] \ dfrac {R ^ 2 \ cos ^ 2 t} {R ^ 2} + \ dfrac {r ^ 2 \ sin ^ 2 t} {r ^ 2} = \ cos ^ 2 t + \ sin ^ 2 t = 1 \ quad \ marca de verificación [/ math]

La relación entre [math] R [/ math] y [math] r [/ math] parece ser [math] r = R \ sin \ theta, [/ math] pero guardemos eso para más adelante.

Ahora considere un sistema de coordenadas 3D con las coordenadas nombradas con letras mayúsculas. El centro de la elipse sigue siendo el origen. El eje [matemático] X [/ matemático] está a lo largo del eje del cilindro. El eje [matemático] Y [/ matemático] sube y baja, como la línea roja en el extremo derecho del cilindro. El eje [matemático] Z [/ matemático] sale de la página y contiene el eje menor de la elipse.

Vemos el extremo derecho de la elipse, en [math] (R, 0) [/ math] en 2D, mapas a [math] (R \ cos \ theta, -R \ sin \ theta, 0) [/ math] en el marco 3D Entonces nuestro mapeo debe ser

[matemáticas] X = x \ cos \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] Y = – x \ sin \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] Z = y [/ matemáticas]

Entonces, en estas coordenadas, la elipse tiene la ecuación:

[matemáticas] X = R \ cos t \ cos \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] Y = – R \ sen t \ cos \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] Z = r \ sen t [/ matemáticas]

Ahora tenemos que sustituir

[matemáticas] R = r / \ sin \ theta [/ matemáticas]

dando

[matemáticas] X = r \ cos t \ cot \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] Y = -r \ sin t \ cot \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] Z = r \ sen t [/ matemáticas]

Meditemos sobre cómo convertir eso nuevamente en una representación no paramétrica.

Answer 2

Deje que el eje [math] x [/ math] se ejecute de izquierda a derecha en su diagrama.

Deje que el eje [math] y [/ math] se ejecute de abajo hacia arriba en su diagrama.

Deje que el eje [math] z [/ math] se ejecute en la pantalla.

Entonces el cilindro tiene la ecuación [matemáticas] y ^ 2 + z ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas].

Y el plano que lo intersecta tiene la ecuación [matemáticas] y + x \ tan \ theta = 0 [/ matemáticas]

donde [matemáticas] \ sin \ theta = \ frac {r} {R} [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que no puede elegir libremente entre [matemática] R [/ matemática] y [matemática] \ theta [/ matemática]: están unidas por la geometría.

La intersección de estas dos superficies da su elipse:

[matemáticas] y ^ 2 = r ^ 2-z ^ 2 = x ^ 2 \ tan ^ 2 \ theta [/ matemáticas]

Lo cual creo que es lo más lejos que puedes llegar. Puede volver a expresar esto utilizando la relación entre [matemáticas] R [/ matemáticas] y [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] y algunas identidades trigonométricas, pero es un poco más complicado y obviamente no es más útil.