[matemáticas] \ displaystyle \ log_3 (x) +3 \ log_2 (7 (x + 3)) = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ log_3 (x) +3 (\ log_2 (7) + \ log_2 (x + 3)) = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ log_3 (x) +3 \ log_2 (7) +3 \ log_2 (x + 3) = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ log_3 (x) +3 \ log_2 (x + 3) = 3-3 \ log_2 (7) [/ matemáticas]
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[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ ln (x)} {\ ln (3)} + 3 \ frac {\ ln (x + 3)} {\ ln (2)} = 3 (1- \ log_2 (7 ))[/matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ ln (2) \ ln (x)} {\ ln (2) \ ln (3)} + \ frac {3 \ ln (3) \ ln (x + 3)} { \ ln (2) \ ln (3)} = 3 (1- \ log_2 (7)) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ ln (2) \ ln (x) +3 \ ln (3) \ ln (x + 3)} {\ ln (2) \ ln (3)} = 3 (1- \ log_2 (7)) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ ln (2) \ ln (x) +3 \ ln (3) \ ln (x + 3) = 3 \ ln (2) \ ln (3) (1- \ log_2 (7)) [/matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle e ^ {\ ln (2) \ ln (x) +3 \ ln (3) \ ln (x + 3)} = e ^ {3 \ ln (2) \ ln (3) (1) – \ log_2 (7))} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle e ^ {\ ln (2) \ ln (x)} e ^ {3 \ ln (3) \ ln (x + 3)} = 2 ^ {3 \ ln (3) (1- \ log_2 (7))} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle x ^ {\ ln (2)} (x + 3) ^ {3 \ ln (3)} = 2 ^ {3 \ ln (3) -3 \ ln (3) \ log_2 (7) }[/matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle x ^ {\ ln (2)} (x + 3) ^ {3 \ ln (3)} = \ dfrac {2 ^ {3 \ ln (3)}} {2 ^ {3 \ ln (3) \ log_2 (7)}} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle x ^ {\ ln (2)} (x + 3) ^ {3 \ ln (3)} = \ dfrac {2 ^ {3 \ ln (3)}} {7 ^ {3 \ ln (3)}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle x ^ {\ ln (2)} (x + 3) ^ {3 \ ln (3)} = \ left (\ dfrac {2} {7} \ right) ^ {3 \ ln (3 )}[/matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle x ^ {\ frac {\ ln (2)} {3 \ ln (3)}} (x + 3) = \ dfrac {2} {7} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle x ^ {\ frac {\ log_3 (2)} {3}} (x + 3) = \ dfrac {2} {7} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle x ^ {\ frac {\ log_3 (2)} {3} +1} + 3x ^ {\ frac {\ log_3 (2)} {3}} – \ dfrac {2} {7} = 0 [/ matemáticas]
Ahora tenemos una especie de “polinomio” con exponentes reales, y queremos los ceros. Llamemos a esa función [matemáticas] f (x) [/ matemáticas]. Estoy bastante seguro de que no hay soluciones de forma cerrada, pero podríamos probar una serie a medida para ver a dónde lleva eso. No estoy 100% seguro de que esto converja cerca de la respuesta, pero estoy bastante seguro de que sí.
[matemáticas] \ displaystyle f ‘(x) = \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} +1 \ right) x ^ {\ frac {\ log_3 (2)} {3}} + \ log_3 (2) x ^ {\ frac {\ log_3 (2)} {3} -1} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f ” (x) = \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} +1 \ right) \ frac {\ log_3 (2)} {3} x ^ {\ frac { \ log_3 (2)} {3} -1} + \ log_3 (2) \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} -1 \ right) x ^ {\ frac {\ log_3 (2)} {3} -2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f ” ‘(x) = \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} +1 \ right) \ frac {\ log_3 (2)} {3} \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} -1 \ right) x ^ {\ frac {\ log_3 (2)} {3} -2} + \ log_3 (2) \ left (\ frac {\ log_3 (2) } {3} -1 \ right) \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} -2 \ right) x ^ {\ frac {\ log_3 (2)} {3} -3} [/ math ]
Las derivadas no están definidas en [matemáticas] 0 [/ matemáticas], por lo que podemos construir una serie de taylor centrada en [matemáticas] 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f ^ {(n)} (x) = \ prod_ {k = 0} ^ {n-1} \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} -k + 1 \ right ) x ^ {\ frac {\ log_3 (2)} {3} -n + 1} +3 \ prod_ {k = 0} ^ {n-1} \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3 } -k \ right) x ^ {\ frac {\ log_3 (2)} {3} -n} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (1)} {n!} (x-1) ^ n [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = f (1) + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ displaystyle \ prod_ {k = 0} ^ {n-1} \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} -k + 1 \ right) 1 ^ {\ frac {\ log_3 (2)} {3} -n + 1} +3 \ prod_ {k = 0} ^ {n-1} \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} -k \ right) 1 ^ {\ frac {\ log_3 (2)} {3} -n}} {n!} (x-1) ^ n [/matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = 1 ^ {\ frac {\ log_3 (2)} {3} +1} +3 (1) ^ {\ frac {\ log_3 (2)} {3}} – \ dfrac {2} {7} + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ displaystyle \ prod_ {k = 0} ^ {n-1} \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3 } -k + 1 \ right) 1 + 3 \ prod_ {k = 0} ^ {n-1} \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} -k \ right) 1} {n!} (x-1) ^ n [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = 1 + 3- \ dfrac {2} {7} + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ displaystyle \ prod_ {k = 0} ^ {n-1 } \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} -k + 1 \ right) +3 \ prod_ {k = 0} ^ {n-1} \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} -k \ right)} {n!} (X-1) ^ n [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = 4- \ dfrac {2} {7} + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ displaystyle \ prod_ {k = -1} ^ {n-2} \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} -k \ right) +3 \ prod_ {k = 0} ^ {n-1} \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} -k \ right)} {n!} (x-1) ^ n [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ dfrac {28} {7} – \ frac {2} {7} + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ displaystyle \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} – (- 1) \ right) \ prod_ {k = 0} ^ {n-2} \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} -k \ right) + 3 \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} – (n-1) \ right) \ prod_ {k = 0} ^ {n-2} \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} -k \ right)} {n!} (X-1) ^ n [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ dfrac {26} {7} + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ prod_ {k = 0} ^ {n-2} \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} -k \ right) \ frac {\ frac {\ log_3 (2)} {3} + 1 + 3 \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} -n + 1 \ right)} {n!} (x-1) ^ n [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ dfrac {26} {7} + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ prod_ {k = 0} ^ {n-2} \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} -k \ right) \ frac {\ frac {\ log_3 (2)} {3} +1+ \ log_3 (2) -3n + 3} {n!} (X-1) ^ n [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ dfrac {26} {7} + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ prod_ {k = 0} ^ {n-2} \ left (\ frac {\ log_3 (2)} {3} -k \ right) \ frac {-3n + \ frac {4} {3} \ log_3 (2) +4} {n!} (X-1) ^ n [/ math]
Sabemos que [matemáticas] \ displaystyle \ prod_ {k = a} ^ b (ck) = \ frac {(- 1) ^ {b-a + 1} \ Gamma (b-c + 1)} {\ Gamma ( ac)} [/ math], para que podamos “simplificar” el producto
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ dfrac {26} {7} + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n-2-0 + 1} \ Gamma \ left (n-2- \ frac {\ log_3 (2)} {3} +1 \ right)} {\ Gamma \ left (0- \ frac {\ log_3 (2)} {3} \ right)} \ frac { -3n + \ frac {4} {3} \ log_3 (2) +4} {n!} (X-1) ^ n [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ dfrac {26} {7} + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n-1} \ Gamma \ left (n-1 – \ frac {\ log_3 (2)} {3} \ right)} {\ Gamma \ left (- \ frac {\ log_3 (2)} {3} \ right)} \ frac {-3n + \ frac {4} {3} \ log_3 (2) +4} {n!} (X-1) ^ n [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ dfrac {26} {7} + \ frac {1} {\ Gamma \ left (- \ frac {\ log_3 (2)} {3} \ right)} \ sum_ { n = 1} ^ \ infty (-1) ^ {n-1} \ frac {\ Gamma \ left (n- \ frac {\ log_3 (2)} {3} -1 \ right)} {n!} \ left (-3n + \ frac {4} {3} \ log_3 (2) +4 \ right) (x-1) ^ n [/ math]
Ahora voy a tratar de usar el teorema binomial para expandir [matemáticas] (x-1) ^ n [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ dfrac {26} {7} + \ frac {1} {\ Gamma \ left (- \ frac {\ log_3 (2)} {3} \ right)} \ sum_ { n = 1} ^ \ infty (-1) ^ {n-1} \ frac {\ Gamma \ left (n- \ frac {\ log_3 (2)} {3} -1 \ right)} {n!} \ izquierda (-3n + \ frac {4} {3} \ log_3 (2) +4 \ derecha) \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} x ^ k (-1) ^ {nk} [/matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ dfrac {26} {7} + \ frac {1} {\ Gamma \ left (- \ frac {\ log_3 (2)} {3} \ right)} \ sum_ { n = 1} ^ \ infty \ sum_ {k = 0} ^ n (-1) ^ {n-1} (- 1) ^ {nk} \ frac {\ Gamma \ left (n- \ frac {\ log_3 ( 2)} {3} -1 \ right)} {n!} \ Left (-3n + \ frac {4} {3} \ log_3 (2) +4 \ right) \ binom {n} {k} x ^ k [/matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ dfrac {26} {7} + \ frac {1} {\ Gamma \ left (- \ frac {\ log_3 (2)} {3} \ right)} \ sum_ { n = 1} ^ \ infty \ sum_ {k = 0} ^ n (-1) ^ {n-1 + nk} \ frac {\ Gamma \ left (n- \ frac {\ log_3 (2)} {3} -1 \ right)} {n!} \ Left (-3n + \ frac {4} {3} \ log_3 (2) +4 \ right) \ frac {n!} {K! (Nk)!} X ^ k [/matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ dfrac {26} {7} + \ frac {1} {\ Gamma \ left (- \ frac {\ log_3 (2)} {3} \ right)} \ sum_ { n = 1} ^ \ infty \ sum_ {k = 0} ^ n (-1) ^ {2n-k-1} \ frac {\ Gamma \ left (n- \ frac {\ log_3 (2)} {3} -1 \ right)} {k! (Nk)!} \ Left (-3n + \ frac {4} {3} \ log_3 (2) +4 \ right) x ^ k [/ math]
Intentemos cambiar esa suma para obtener un buen polinomio. Básicamente tenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ sum_ {k = 1} ^ nf (n, k) x ^ k [/ matemáticas]
Que si nos expandimos, es
[matemáticas] f (1,1) x ^ 1 + f (2,1) x ^ 1 + f (2,2) x ^ 2 + f (3,1) x ^ 1 + f (3,2) x ^ 2 + f (3,3) x ^ 3 + \ cdots [/ matemáticas]
Queremos tener factorizar cada potencia de [matemáticas] x [/ matemáticas], lo que significa que obtendremos
[matemáticas] (f (1,1) + f (2,1) + \ cdots) x + (f (2,2) + f (3,2) + \ cdots) x ^ 2 + (f (3,3 ) + f (4,3) + \ cdots) x ^ 3 + \ cdots [/ math]
O en notación sigma,
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ sum_ {n = k} ^ \ infty f (n, k) x ^ k [/ math]
Así que volvamos a nuestra función,
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ dfrac {26} {7} + \ frac {1} {\ Gamma \ left (- \ frac {\ log_3 (2)} {3} \ right)} \ sum_ { k = 1} ^ \ infty \ sum_ {n = k} ^ \ infty (-1) ^ {2n-k-1} \ frac {\ Gamma \ left (n- \ frac {\ log_3 (2)} {3 } -1 \ right)} {k! (Nk)!} \ Left (-3n + \ frac {4} {3} \ log_3 (2) +4 \ right) x ^ k [/ math]
Siento que se podría hacer más para simplificar esto y posiblemente incluso resolverlo, aunque sospecho que no hay una solución de forma cerrada. Sin embargo, no estoy seguro de dónde ir; No tengo idea de cómo encontrar los ceros de una serie de potencia, ni siquiera cómo abordar ese problema. De todos modos, la respuesta es [matemáticas] x \ aproximadamente 1.394 * 10 ^ {- 5} [/ matemáticas] si a alguien le importa.