¿Qué pasa si una ecuación cuadrática tiene un número imaginario?

Answer 1

¡Esta pregunta es en realidad mucho más profunda de lo que parece inicialmente! Me imagino que esta pregunta surgió de pensar, de una forma u otra, en la expansión de conjuntos de números bajo diferentes operaciones.

Esto es lo que quiero decir (de una manera no muy rigurosa):

Imagina que quieres tomar dos enteros y sumarlos. Debido a que puede tomar dos enteros y sumarlos para obtener otro entero, se dice que el conjunto de enteros se cierra con la suma . Sin embargo, los enteros no están cerrados bajo división (5/3 definitivamente no es un entero). Si desea un conjunto de números que está cerrado por división, podría comenzar a dividir todos los diferentes pares de enteros, y obtendría los números racionales. De manera similar, puede expandir los números racionales a números reales cerrándolos bajo límites (eso es lo que aprenderá en Cálculo), y puede expandir los números reales a números complejos haciéndolos cerrados bajo exponenciación ( i = ( -1) ^ (1/2)). Ahora, los números como 5 y -69 son números racionales, por lo que podría pensar en los enteros como “encajando dentro” de los números racionales. Del mismo modo, los números racionales encajan dentro de los números reales, y los números reales encajan dentro de los números complejos.

Entonces, imagino que la pregunta posiblemente surgió de una línea de pensamiento como: “Bueno, puedo expandir los enteros a los racionales, y los racionales a los reales, etc. ¿Hay alguna manera de usar raíces polinómicas para expandir los números complejos en algún territorio mágico, súper abstracto, raramente explorado de números ?? ”Curiosamente, porque los números complejos están cerrados bajo operaciones algebraicas , cualquier operación algebraica en números complejos, como encontrar las raíces de un polinomio, siempre produce un número complejo. Por ejemplo, [math] \ sqrt {i} = \ pm (i + 1) / \ sqrt {2} [/ math] (puede ajustar ese número para probarlo usted mismo si es necesario) y [math] i ^ i = e ^ {- \ pi / 2} [/ math].

La moraleja de la historia es que cualquier polinomio con coeficientes complejos, como [matemática] 3ix ^ 7 [/ matemática] o [matemática] 4x ^ {100} + (3 + 6i) x ^ {69} [/ matemática], tienen raíces complejas, y no raíces de un conjunto de números más profundo y mágico.

Esa propiedad de los números complejos es en realidad una gran parte del teorema fundamental del álgebra, lo que se puede notar es importante porque los matemáticos no llaman a cualquier cosa antigua la “teoría fundamental de ____”.

Además, perdón por todas las ediciones; Estaba tratando de aprender la notación LATEX mientras escribía esto: p

Answer 2

No hay nada especial en las ecuaciones algebraicas con coeficientes complejos.

Pero para comprender por qué, debe comprender algo importante y fascinante: que el conjunto de números complejos está cerrado bajo operaciones algebraicas, que incluyen raíces.

Se inventaron números complejos para resolver un problema: que no hay un número real que satisfaga la ecuación [matemáticas] x ^ 2 = -1 [/ matemáticas]. Es decir, [math] \ sqrt {-1} [/ math] no es un símbolo significativo dentro de los límites de los números reales. Entonces ampliamos el conjunto definiendo [math] i = \ sqrt {-1} [/ math] e inventamos números complejos que son la suma de partes reales e imaginarias.

Pero aquí está lo notable: [math] \ sqrt {i} [/ math] no es un nuevo tipo de número. Es solo otro número complejo. De hecho, es solo [math] \ pm (1 + i) / \ sqrt {2} [/ math]. Puede verificarlo fácilmente: [matemáticas] (1 + i) (1 + i) = 1 + i + i-1 = 2i [/ matemáticas], divida por [matemáticas] (\ sqrt {2}) ^ 2 = 2 [/ math] y presto, obtienes [math] i [/ math].

Lo que significa que mientras que una ecuación algebraica con coeficientes reales puede tener raíces complejas, una ecuación algebraica con coeficientes complejos no obtendrá nuevos tipos de raíces; las raíces seguirán siendo simples números complejos viejos.

Entonces, podrías preguntarte, ¿tiene sentido pensar en conjuntos que van más allá de los números complejos? Especie de. Hay una construcción interesante llamada cuaterniones: estos involucran no una sino tres unidades imaginarias, usualmente etiquetadas [matemáticas] i [/ matemáticas], [matemáticas] j [/ matemáticas] y [matemáticas] k [/ matemáticas]. Lo que pasa con los cuaterniones es que la multiplicación de los cuaterniones no es conmutativa: [matemática] ij = -ji [/ matemática], por ejemplo, por definición. Pero el álgebra de quaternion tiene la notable propiedad de que es un llamado álgebra de división, es decir, si [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​dos quaternions y [math] ab = 0 [/ math ], entonces al menos uno de [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] debe ser [matemática] 0 [/ matemática] (esto suena trivial hasta que te recuerdes que hay muchas matrices distintas de cero [matemática] ] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] para la cual [matemática] AB = 0 [/ matemática].)

¿Tiene sentido ir más allá? Bueno … un poquito. Más allá de los cuaterniones, están los octoniones: estos involucran siete (!) Unidades imaginarias diferentes, y el álgebra no solo no es conmutativo, sino también no asociativo. Si [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] son ​​octoniones, entonces, [matemática] a (bc) \ ne (ab) c [/ matemática] . Pero sorprendentemente, el álgebra de octonion sigue siendo un álgebra de división.

Y aún más sorprendente, esto es todo: no hay más álgebras de división. Los reales, los números complejos, los cuaterniones y los octoniones son: cuatro tipos de álgebra de división, eso es todo.

Los cuaterniones y los octoniones no se usan para resolver ecuaciones algebraicas, pero, especialmente los cuaterniones, tienen muchos usos en geometría. También se utilizan en aplicaciones de gráficos por computadora.

Answer 3

Nada especial excepto que una cierta simetría cambia. Los números complejos se llaman cierre algebraico de los números reales . Es decir, cualquier operación algebraica (tomar raíces, exponenciales, logaritmos, suma, resta, multiplicación, tomar recíprocos, etc.) realizada en un número complejo produce otro número complejo. No sucede lo mismo con los números reales, donde algunas operaciones (las más famosas tienen raíces pares de números reales negativos) no se cierran bajo estas operaciones. Es decir, no hay [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math] que satisfaga la ecuación [math] x ^ 2 + 1 = 0 [/ math], por ejemplo. Sin embargo, hay números en otro campo que satisfacen esa ecuación, a saber, el campo de los números complejos.

Como un polinomio solo involucra operaciones algebraicas, cualquier polinomio con coeficientes complejos tiene raíces en los números complejos. El teorema fundamental del álgebra es una declaración sobre polinomios con coeficientes reales: dice que un polinomio con coeficientes reales [matemática] p (x) [/ matemática] de grado [matemática] n [/ matemática] tiene exactamente [matemática] n [ / math] (con posibles repeticiones), y que el complejo conjuga [math] \ bar {\ alpha} [/ math] de cualquier raíz [math] \ alpha [/ math] no está en [math] \ mathbb {R} [/ math] también es una raíz de [math] p (x) [/ math]. Las raíces son elementos de [math] \ mathbb {R} [/ math], o son simétricas en el plano complejo con respecto a la reflexión a través del eje real (es decir, el conjunto de soluciones es invariante al tomar conjugados complejos).

Si los coeficientes de su polinomio no son elementos de [math] \ mathbb {R} [/ math], entonces el eje real del plano complejo ya no es una línea de simetría para el conjunto de soluciones del polinomio.

Si puede ver una factorización obvia, úsela, pero de lo contrario la fórmula cuadrática todavía funciona bien, pero la parte de la raíz cuadrada podría tener más cuidado de evaluar bien (es posible que desee convertir lo que esté dentro de la raíz cuadrada en forma polar o forma exponencial compleja).

Answer 4

Según lo presentado por usted, es solo una expresión, pero supongamos que desea resolver

[matemáticas] x ^ 2 + 3ix = 0 [/ matemáticas]

Entonces la solución es la misma de siempre. Esta expresión particular fácilmente produce raíces [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] -3i [/ matemáticas].

Tomemos un caso más difícil, uno que es típico.

[matemáticas] x ^ 2-i = 0 [/ matemáticas]

Podemos leer la respuesta formal al instante:

[matemáticas] r_1 = \ sqrt {i} [/ matemáticas]

[matemáticas] r_2 = – \ sqrt {i} [/ matemáticas]

Pero, ¿cómo se saca la raíz cuadrada de un número complejo usando solo aritmética básica y raíces cuadradas de números reales?

El proceso se ilustra en varios lugares de la web, como este.

Así es como funciona:

Queremos los números complejos [matemática] w = u + iv [/ matemática] de modo que [matemática] w ^ 2 = z = x + iy [/ matemática]

Por lo tanto, u y v deben satisfacer

[matemáticas] u ^ 2-v ^ 2 = x [/ matemáticas]

[matemáticas] 2uv = y [/ matemáticas]

Esto implica 2 o 3 extracciones de raíz cuadrada real (dependiendo de los detalles).

Answer 5

Muy bien

De hecho, incluso hay un nombre para ello [math] \ mathbb C [x] [/ math] o los polinomios con coeficientes en [math] \ mathbb C [/ math]

Resolver estos polinomios sería muy similar a resolver polinomios en [math] \ mathbb R [x] [/ math] ya que comparten muchas de las mismas propiedades.

Por ejemplo [matemáticas] (x-3i + 1) (x + i) = 0 [/ matemáticas]

Tendría raíces [matemáticas] x = 3i-1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = -i [/ matemáticas]

Sin embargo, factorizar esto sería un poco complicado.

Graficar estos polinomios sería interesante ya que son funciones tridimensionales.

La función 3D podría definirse como [matemáticas] z = f (x + yi) [/ matemáticas]

Y las raíces son los puntos en el plano [matemático] xy [/ matemático] que intersecta el gráfico.

Incluso las funciones polinomiales de valor real son polinomios técnicamente complejos ya que funciones como [math] x ^ 2 + 1 [/ math] no tienen raíces reales. Pero [math] i [/ math] y [math] -i [/ math] son ​​raíces perfectamente válidas si extiende [math] \ mathbb R [x] [/ math] a [math] \ mathbb C [x] [ /matemáticas]

Answer 6

Normalmente, una cuadrática con coeficientes reales tendría raíces reales o raíces que son conjugados complejos entre sí.

Esta restricción dice que los coeficientes son complejos. En su ejemplo, la ecuación tiene una raíz real y una raíz imaginaria. ([matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] -3i [/ matemáticas]).

Answer 7

Es exactamente lo mismo, excepto que tienes que lidiar con números imaginarios y complejos.
La fórmula cuadrática x = -b / 2a +/- sqrt (b ^ 2 – 4ac) / 2a se aplica incluso si los coeficientes son complejos. La derivación de la fórmula cuadrática (al completar el cuadrado) no depende de que los coeficientes sean reales, porque las mismas propiedades algebraicas básicas también se aplican a números complejos.

Es simplemente más complicado de calcular, especialmente si el discriminante es complejo o imaginario.

Answer 8

Nunca he intentado esto antes, pero tengo curiosidad …

x ^ 2 + 3ix = 0

Ir a través de la fórmula cuadrática y ver qué pasa

(-3i + – sqrt ((3i) ^ 2 -4 (1) (0))) / 2

(-3i + – sqrt (-9)) / 2

(-3i + – 3i) / 2

0/2 o -6i / 2

0 o -3i

Interesante

Answer 9

Bueno, el problema que planteaste es bastante simple. Es solo x (x + 3i) que le da las raíces 0 y -3i. Un problema más complicado sería x ^ 2-i. En ese caso, necesita las raíces de i, que son [matemáticas] (\ frac {1} {\ sqrt {2}} \ pm \ frac {i} {\ sqrt {2}}) [/ matemáticas].

Lo bueno de los números complejos es que es un sistema de números autónomo. Ya no tiene este problema de raíces indefinido que tiene con el conjunto de reales.

La fórmula básica para el poder de un número complejo es tratarlo como un vector. Eleve la magnitud del vector a la potencia, multiplique el ángulo del vector por la potencia. En nuestro caso aquí, la magnitud sigue siendo 1, el ángulo se reduce a la mitad de 90 grados a [matemáticas] \ pm [/ matemáticas] 45.

Answer 10

Daré algunos ejemplos simples … ①. x²-2ix-1 = 0 ∴ （x- i） ² = 0 ∴x = i ②3x² — ix-2 = 0 ∴ （3x + 2i） （xi） = 0∴x = i, x = （- 2/3 ） I ③2x²-3xi + 1 = （2x- i） （x- i） ∴x = i, x = ½i