Las raíces de la ecuación cuadrática [matemática] x ^ 2-4x + 9 = 0 [/ matemática] son ​​[matemática] \ alpha ^ 2 [/ matemática] y [matemática] \ beta ^ 2 [/ matemática]. ¿Cómo puedo encontrar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean [matemáticas] (\ alpha + \ beta) ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] (\ alfa \ beta) ^ 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Usaré dos fórmulas básicas de ecuaciones cuadráticas para resolver esto.

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]

en esta ecuación cuadrática, la suma de raíces es igual a [math] \ frac {-b} {a} [/ math] y el producto de raíces es igual a [math] \ frac {c} {a} [/ math]

[matemáticas] x ^ 2 – 4x + 9 [/ matemáticas]

en esta ecuación cuadrática tenemos suma de raíces como 4 y producto de raíces como 9

[matemáticas] \ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 = 4 [/ matemáticas] ———— 1

[matemáticas] \ alpha ^ 2 \ beta ^ 2 = 9 [/ matemáticas] ————— 2

También podemos escribir la ecuación 2 como

[matemáticas] (\ alpha \ beta) ^ 2 = 9 [/ matemáticas] ————- 3

ecuación 1 + 2 * raíz cuadrada de la ecuación 2

[matemáticas] \ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 + 2 \ alpha \ beta = 4 + 3 * 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ alpha + \ beta) ^ 2 = 10 [/ matemáticas] ————— 4

ahora para la segunda ecuación cuadrática tenemos [matemáticas] (\ alpha + \ beta) ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] (\ alpha \ beta) ^ 2 [/ matemáticas] como las raíces

suma de raíces = [matemáticas] (\ alpha + \ beta) ^ 2 + (\ alpha \ beta) ^ 2 = 10 + 9 = 19 [/ matemáticas]

producto de raíces = [matemáticas] (\ alpha + \ beta) ^ 2 * (\ alpha \ beta) ^ 2 = 10 * 9 = 90 [/ matemáticas]

tendremos nuestra ecuación cuadrática final como

[matemáticas] x ^ 2 – 19x + 90 [/ matemáticas]

Answer 2

Sabemos que [math] {\ alpha ^ 2} + {\ beta ^ 2} = 4 [/ math] y [math] {\ alpha ^ 2} {\ beta ^ 2} = 9 [/ math].

La suma de las nuevas raíces es [matemáticas] {\ left ({\ alpha + \ beta} \ right) ^ 2} + {\ alpha ^ 2} {\ beta ^ 2} = {\ alpha ^ 2} + {\ beta ^ 2} + 2 \ alpha \ beta + {\ alpha ^ 2} {\ beta ^ 2} = 4 \ pm 6 + 9 = 19,7. [/ matemática]

El producto de las nuevas raíces es [matemáticas] {\ left ({\ alpha + \ beta} \ right) ^ 2} {\ alpha ^ 2} {\ beta ^ 2} = \ left ({{\ alpha ^ 2} + {\ beta ^ 2} + 2 \ alpha \ beta} \ right) {\ alpha ^ 2} {\ beta ^ 2} = 9 \ left ({4 \ pm 6} \ right) = 90 {\ rm {o }} – 18 [/ matemáticas]

Hay dos ecuaciones:

[matemáticas] {x ^ 2} – 19x + 90 = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] {x ^ 2} – 7x – 18 = 0 [/ matemáticas].

Answer 3

Deje que [matemáticas] P (x) = x ^ 2-4x + 9 [/ matemáticas]

Sabemos que sus raíces son [matemáticas] \ alpha ^ 2, \ beta ^ 2 [/ matemáticas].

Sabemos por las fórmulas de Vieta que:

1. [matemáticas] \ textrm {Suma de raíces} = \ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 = – \ dfrac {b} {a} = 4 [/ matemáticas]
2. [matemáticas] \ textrm {Producto de raíces} = \ alpha ^ 2 \ cdot \ beta ^ 2 = (\ alpha \ beta) ^ 2 = \ dfrac {c} {a} = 9 [/ matemáticas]

Ahora, las raíces de la cuadrática que debemos formar son: [matemáticas] (\ alpha + \ beta) ^ 2 = \ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 + 2 \ alpha \ beta [/ matemáticas]

[matemáticas] \ color {blanco} {(\ alpha + \ beta) ^ 2} = (\ color {rojo} {\ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2}) + 2 \ cdot \ sqrt {\ color {azul} { \ alpha ^ 2 \ beta ^ 2}} [/ math]

Usando las ecuaciones [matemáticas] (1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (2): [/ matemáticas]

[matemáticas] \ color {blanco} {(\ alpha + \ beta) ^ 2} = (\ color {rojo} {4}) + 2 \ cdot \ sqrt {\ color {azul} {9}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ color {blanco} {(\ alpha + \ beta) ^ 2} = \ en caja {10} [/ matemáticas]

Y la otra raíz es

[matemáticas] (\ alpha \ beta) ^ 2 = \ en caja {9} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la cuadrática con las raíces requeridas es:

[matemáticas] (x-10) (x-9) = \ en caja {\ color {rojo} {x ^ 2-19x + 90}} [/ matemáticas]