Cómo resolver [matemáticas] (3 + 4i) ^ {2} -2 (x-iy) = x + iy [/ matemáticas] para los números reales x e y

Answer 1

Esta es una pregunta fácil para la que estoy seguro de que las otras respuestas están bien. Solo quiero hablar sobre el último paso.

Una ecuación con números complejos puede considerarse como dos ecuaciones; uno que iguala las partes reales, otro que iguala las partes imaginarias.

No es totalmente trivial probar eso. Deje que [matemáticas] a, b, c, [/ matemáticas] y [matemáticas] d [/ matemáticas] sean reales. Tenemos

[matemáticas] a + bi = c + di [/ matemáticas]

Podemos escribir

[matemáticas] (ac) + (bd) i = 0 [/ matemáticas]

Sabiendo que [matemática] a, b, c [/ matemática] y [matemática] d [/ matemática] son ​​reales, podemos tomar magnitudes al cuadrado así:

[matemáticas] | (ac) + (bd) i | ^ 2 = | 0 | ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (ac) ^ 2 + (bd) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Los términos al cuadrado son siempre no negativos. Si [math] a \ ne c [/ math] o [math] b \ ne d [/ math] el término al cuadrado correspondiente será positivo, al igual que la suma. Como la suma es cero, concluimos

[matemáticas] a = c [/ matemáticas] y [matemáticas] b = d [/ matemáticas]

Answer 2

Simplemente “cuadre” el primer término, use el hecho de que i ^ 2 = -1, luego segregue las partes reales e imaginarias. Obtendrá expresiones simples para x e y.
Como se usa aquí, “segregar” significa escribir dos ecuaciones: una para las partes “reales” y otra para las partes “imaginarias”.

Answer 3

Primero, lo reorganiza a la forma de [math] a + bi = 0 [/ math].

[matemáticas] (3 + 4i) ^ {2} – 2 (x-iy) = x + iy [/ matemáticas]
[matemáticas] (9 + 24i-16) -2 (x-iy) -x-iy = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (- 7–3x) + (24 + y) i = 0 [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] a = (-7–3x) [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 24 + y [/ matemáticas].

Para que un número complejo sea cero, tanto la parte real [matemática] a [/ matemática] como la parte imaginaria [matemática] b [/ matemática] deben ser cero.

Entonces tenemos las ecuaciones:

[matemáticas] \ begin {cases} -7 – 3x = 0 \\ 24 + y = 0 \ end {cases} [/ math]

Si lo resuelve, encontrará la solución [matemática] (x, y) = (-2 \ frac {1} {3}, -24) [/ matemática].

Answer 4

Parte real en un lado y Parte imaginaria en el otro lado.

Da; – 7 – 2 X = X y 24 + 2 Y = Y

3 X = – 7; X = – 7/3

24 + 2 Y = Y; Y = – 24

Answer 5

Expande la expresión y luego compara el lado izquierdo con el lado derecho.

Answer 6

Tienes que alcanzar Re (z) = Re (z ‘) & Im (z) = Im (z’), así que primero conviértete en: 9 + 12i -16 -2x + 2iy = x + iy, luego reorganízate en: -7 + 12i = 3x -iy, entonces -7 = 3x, y 12 = -y, entonces x = (- 7/3) e y = (- 12). Buena suerte…