Si las raíces de la ecuación (bc) x ^ 2 + (ca) x + (ab) = 0 son iguales, entonces, ¿cómo puedo probar que 1 / ab + 1 / bc = 2 / AC?

Answer 1

Llamemos a [math] r [/ math] la raíz. Es bastante obvio que los coeficientes en la cuadrática suman cero: cada uno de [matemática] a, b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] aparece dos veces, una vez positiva, una vez negativa. Entonces [matemática] r = 1. [/ matemática] Verifique:

[matemáticas] (bc) 1 ^ 2 + (ca) 1 + (ab) = b-c + c-a + ab = 0 \ quad \ marca de verificación [/ math]

Entonces debemos tener

[matemáticas] (bc) x ^ 2 + (ca) x + (ab) = (bc) (x-1) ^ 2 = (bc) (x ^ 2-2x + 1) [/ matemáticas]

Coeficientes de igualación

[matemáticas] ca = -2 (bc) [/ matemáticas]

[matemáticas] ab = bc [/ matemáticas]

Ambos funcionan para [matemática] a + c = 2b [/ matemática] o

[matemáticas] b = \ dfrac {a + c} {2} [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] \ dfrac {1} {ab} + \ dfrac {1} {bc} = \ dfrac {a + c} {abc} = \ dfrac {a + c} {ac (a + c) / 2} = \ dfrac {2} {ac} \ quad \ marca de verificación [/ math]

Answer 2

[matemáticas] (bc) x ^ 2 + (ca) x + (ab) = 0 [/ matemáticas]

Comparando con [matemáticas] A x ^ 2 + Bx + C = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] A = bc
[/matemáticas]

[matemáticas] B = ca [/ matemáticas]

[matemáticas] C = ab [/ matemáticas]

Para que las raíces sean iguales;

[matemáticas] B ^ 2 – 4AC = 0 [/ matemáticas]

O, [matemáticas] (ca) ^ 2 – 4 (bc) (ab) = 0 [/ matemáticas]

O, [matemáticas] c ^ 2 -2ac + a ^ 2 -4 ab + 4b ^ 2 + 4ac – 4bc = 0 [/ matemáticas]

O, [matemáticas] c ^ 2 + 2ac + a ^ 2 + 4b ^ 2 – 4bc – 4ab = 0 [/ matemáticas]

O, [matemáticas] (c + a) ^ 2 – 4bc – 4ab + 4b ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

O, [matemáticas] (c + a) ^ 2 -2b (c + a) + (2b) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

O, [matemáticas] (c + a -2b) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

O, [matemáticas] c + a -2b = 0 [/ matemáticas]

O, [matemáticas] c + a = 2b [/ matemáticas]

Dividiendo por abc obtenemos

O bien, [matemáticas] \ frac {1} {ab} + \ frac {1} {bc} = \ frac {2} {ac} [/ matemáticas]