Cómo determinar un vector normal unitario para una superficie si conozco la ecuación paramétrica

La ecuación paramétrica de una superficie es [matemáticas] \ vec {r} = \ vec {r} (u, v) [/ matemáticas]. Entonces, un punto arbitrario en la superficie caracterizado por [math] (u, v) [/ math] puede considerarse como un punto de intersección de dos curvas, siendo la ecuación de una curva [math] \ vec {r} = \ vec {r} (u, v = constante) [/ math], y la del otro como [math] \ vec {r} = \ vec {r} (u = constant, v) [/ math]. Las derivadas parciales [matemáticas] \ frac {\ partial \ vec {r}} {\ partial u} y \ frac {\ partial \ vec {r}} {\ partial v} [/ math] son tangentes a las curvas [matemáticas ] \ vec {r} = \ vec {r} (u, v = constante) [/ math] y [math] \ vec {r} = \ vec {r} (u = constante, v) [/ math] respectivamente , en [matemáticas] (u, v) [/ matemáticas]. Estas derivadas parciales forman un plano tangente en (u, v). Luego, el producto cruzado de las derivadas [matemáticas] \ frac {\ partial \ vec {r}} {\ partial u} \ times \ frac {\ partial \ vec {r}} {\ partial v} [/ math] produce un vector que es normal al plano tangente y tan normal a la superficie en [math] (u, v) [/ math]. El vector normal de la unidad [matemática] \ hat {n} [/ matemática] en [matemática] (u, v) [/ matemática] es [matemática] \ displaystyle \ frac {\ frac {\ partial \ vec {r}} { \ partial u} \ times \ frac {\ partial \ vec {r}} {\ partial v}} {| \ frac {\ partial \ vec {r}} {\ partial u} \ times \ frac {\ partial \ vec {r}} {\ partial v} |} [/ math].