¿Por qué tenemos incluso la notación de diferenciación parcial?

Answer 1

¡Buena pregunta! ¿Qué pasaría si dijera que no hay una razón específica por la que deba ser así?

En lugar de enfocarse en lo que significa la notación, ya que eso no tiene esencialmente sentido, uno debe enfocarse en lo que representa la notación. En este caso, representa una función, al igual que la suma o la resta. De hecho, si pensamos en la escuela primaria, a muchos de nosotros nos enseñaron que restar es lo mismo que “sumar lo opuesto”. Eso significa que sumar y restar son lo mismo … pero usamos diferentes anotaciones para representarlos … por qué ?

Claridad: utilizamos diferentes anotaciones para garantizar que nuestro significado sea claro. Es la misma razón por la que usamos paréntesis en lugar de las formas oscuras de escribir expresiones que uno ve con frecuencia en Facebook. La única razón por la que la suma y la resta se distinguen es por la claridad. Lo mismo puede decirse por la razón de que la diferenciación parcial y la diferenciación total tienen notaciones diferentes. Hace que sea más fácil transmitir y comprender ideas.

Answer 2

Una razón: indica que debemos ser más cuidadosos. Por ejemplo, tome la función [matemáticas] f (x, y) = 2x + y [/ matemáticas]. Sea [math] u = x [/ math] y [math] v = x + y [/ math], de modo que [math] f (u, v) = u + v [/ math]. Tenga en cuenta que [math] \ frac {\ partial f} {\ partial x} = 2 [/ math], pero [math] \ frac {\ partial f} {\ partial u} = 1 [/ math] – aunque usted estás usando la misma variable en ambos casos, [matemáticas] x = u [/ matemáticas]! La razón de esto es que hay otros parámetros que se mantienen constantes, y aunque generalmente está claro por el contexto, debe tener cuidado al respecto.

Otra razón: suponga que tiene [matemáticas] f (x (t), y (t), t) [/ matemáticas] una función que depende de la posición de un objeto (que depende del tiempo), así como quizás el tiempo explícitamente. En este caso, [math] \ frac {df} {dt} [/ math] tiene un significado muy diferente que [math] \ frac {\ partial f} {\ partial t} [/ math] (y sí, esto tiene subir en la práctica).