Cómo simplificar [matemáticas] \ frac {n (-3) ^ n} {3 ^ {n + 1}} [/ matemáticas] en [matemáticas] \ frac13 (-1) ^ nn [/ matemáticas]

Answer 1

Gracias por el A2A, Emma! Así que vamos a simplificar tanto la parte superior como la inferior en pasos, comenzando por la parte inferior:

1. Como ejemplo, sabemos que cuando multiplicamos dos valores de la misma base por un valor, el resultado es la base elevada a la suma de los exponentes: [matemáticas] x ^ 1 * x ^ 2 = x ^ (1 + 2) = x ^ 3. [/ matemáticas]
2. Lo contrario también es cierto: [matemáticas] x ^ 3 = x ^ (1 + 2) = x ^ 1 * x ^ 2 [/ matemáticas].
3. Usando lo anterior, podemos ver que [matemáticas] 3 ^ n + 1 = 3 ^ n * 3 ^ 1 = 3 ^ n * 3. [/ Matemáticas]

Ahora para la cima:

1. Sabemos que dos valores elevados a la misma potencia pueden multiplicarse. Ejemplo: [matemáticas] 2 ^ 3 * 3 ^ 3 = 8 * 27 = 216 = 6 * 36 6 * 6 * 6 = 6 ^ 3 = (2 * 3) ^ 3. [/ Matemáticas]
2. Lo contrario es cierto como se muestra arriba, así que [matemáticas] -3 ^ n = (3 ^ n) * (- 1 ^ n) [/ matemáticas]
3. Esto nos deja con [matemáticas] (3 ^ n) (- 1 ^ n) n [/ matemáticas]

Vamos a recombinar el numerador y el denominador:

[matemáticas] ((3 ^ n) (- 1 ^ n) n) / ((3 ^ n) (3)) [/ matemáticas]

Como podemos ver, hay un término común en el numerador y el denominador. ¡Comencemos a simplificar!

1. [matemáticas] ((3 ^ n) (- 1 ^ n) n) / ((3 ^ n) (3)) [/ matemáticas]
2. [matemáticas] ((- 1 ^ n) n) / 3 [/ matemáticas]
3. [matemáticas] (1/3) (- 1 ^ n) n [/ matemáticas]

¡Buena suerte!

Answer 2

Tenemos: [math] \ dfrac {n \ hspace {1 mm} (- 3 ^ {n})} {3 ^ {n + 1}} [/ math]

Usando las leyes de exponentes:

[math] = \ dfrac {n \ hspace {1 mm} (- 1 \ cdot {3}) ^ {n}} {3 \ cdot {3 ^ {n}}} [/ math]

[math] = \ dfrac {n \ hspace {1 mm} (- 1) ^ {n} (3) ^ {n}} {3 \ cdot {3 ^ {n}}} [/ math]

[math] = \ dfrac {n \ hspace {1 mm} (- 1) ^ {n}} {3} [/ math]

[math] = \ dfrac {1} {3} (- 1) ^ {n} \ hspace {1 mm} n [/ math]

Answer 3

[matemáticas] \ frac {n. (- 3) ^ n} {3 ^ {n + 1}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {n. (- 1) ^ n.3 ^ n} {3 ^ n. 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {{3 ^ n}. {(- 1) ^ n. n}} {3 ^ n. 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac13. (-1) ^ n. n [/ matemáticas]

Answer 4

[matemáticas] (- 3) ^ n [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] (- 1) ^ n [/ matemáticas] multiplicado por [matemáticas] (3) ^ n [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 ^ { (n + 1)} [/ math] es igual a [math] 3 ^ 1 [/ math] multiplicado por [math] (3 ^ n) [/ math]

Puede cancelar [math] (3 ^ n) [/ math] desde el numerador y el denominador que le da la expresión inferior.

Answer 5

He visto las respuestas de algunos otros respondedores y son cálculos perfectamente válidos. Ahora un poco de historia.

Tenemos tres reglas para exponentes (potencias) que se pueden usar según sea necesario:

Regla 1: [matemáticas] \ displaystyle x ^ ny ^ n = (xy) ^ n [/ matemáticas]

Regla 2: [matemáticas] \ displaystyle \ frac {x ^ m} {x ^ n} = x ^ {mn} [/ matemáticas]

Regla 2a: [matemáticas] \ displaystyle \ frac {x ^ m} {x ^ n} = \ frac {1} {x ^ {nm}} [/ matemáticas]

En el problema en cuestión, no está claro que podamos aplicar cualquiera de estas reglas hasta que nos demos cuenta de que

[matemáticas] \ displaystyle -3 = -1 \ veces 3 [/ matemáticas]

Entonces, usando esta regla más 1:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {n (-3) ^ n} {3 ^ {n + 1}} = \ frac {n ((- 1) 3) ^ n} {3 ^ {n + 1}} = \ frac {n (-1) ^ n3 ^ n} {3 ^ {n + 1}} [/ matemática]

Ahora aplique la Regla 2a:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {n (-3) ^ n} {3 ^ {n + 1}} = \ frac {n (-1) ^ n} {3 ^ {(n + 1) -n}} = \ frac {1} {3} (- 1) ^ nn [/ matemáticas]

Answer 6

El enfoque aquí es entender qué obtendrás si multiplicas -1 n veces. Debido a que nada se menciona en la pregunta de que n es un número par o impar, por lo que no puede predecir el signo de (-1) ^ n.

Entonces debes mantener (-1) ^ n como está y resolver otras cosas. Derecha.

Entonces ahora la expresión se convierte

: [n * (3 ^ n) * ((-1) ^ n)] / [3 ^ (n + 1)]

que no es más que

n * ((-1) ^ n) / 3

Answer 7

Eliminando 3 ^ n tanto del numerador como del denominador, se obtiene el resultado.