¿Existe una ecuación que pruebe que la energía siempre se conservará?

Sí, hay … más o menos.

Hay un hermoso teorema que data de hace cien años, formulado por primera vez por Emmy Noether. Básicamente conecta las simetrías de una teoría con las leyes de conservación.

La conservación de energía es una de las consecuencias del teorema de Noether. Encontramos que las leyes de la física son las mismas hoy que ayer … es decir, son simétricas en la traducción del tiempo. Esta simetría conduce directamente a la ley de conservación de energía. Del mismo modo, las leyes de la física que son las mismas en diferentes lugares conducen a la ley de conservación del momento, y las leyes de la física son las mismas independientemente de la dirección que enfrente, lo que lleva a la ley de conservación del momento angular.

Estas no son solo palabras bonitas, por cierto; Estas leyes se derivan utilizando matemáticas rigurosas.

Sí, vi el pequeño boceto en los detalles de la pregunta. No está exactamente claro lo que representa, pero en lo que respecta a configuraciones simples (o no tan simples) de cargas eléctricas y superficies conductoras / aislantes, las leyes que las rigen son las leyes de electromagnetismo de Maxwell … que son simétricas bajo traducción en el tiempo, traducción espacial , y la rotación, por lo tanto, conducen a las leyes de conservación antes mencionadas.

La energía no siempre se conserva.

Lo que Viktor Toth escribió en su respuesta es la condición sobre la cual se conserva o no la energía, es decir, la invariancia de la traducción del tiempo del total de Lagrangian.

Esto parece tener poco que ver con su pregunta, que es la electrostática básica y dónde se conserva la energía.

En la configuración inicial, el campo eléctrico es cero dentro de los caparazones y positivo en el borde exterior del caparazón A, donde el potencial eléctrico del sistema es una constante positiva encontrada al establecer [math] \ phi _ {\ infty} = 0 [/ math ] y realizar la integración de línea del campo eléctrico entre [math] r_ {A} [/ math] e infinity. La conexión a tierra A pone a cero el potencial del sistema al extraer electrones de la tierra. Ignorando los efectos resistivos, la energía necesaria para establecer la configuración original será igual a la energía necesaria para neutralizarla. Esto no es del todo obvio y ayudará a tener en cuenta [matemática] \ Delta U = q \ Delta \ phi [/ matemática] y considerar mover la carga superficial en A hacia y desde el infinito (las carcasas interiores no tienen en cuenta el analisis).

Supongo que las esferas externas son en realidad conchas esféricas concéntricas. La capa más externa desarrollaría una carga positiva; finalmente, la carga neta en el sistema seguiría siendo + q aplicando la ley de Gauss. La energía potencial de este sistema para llevar este sistema desde el infinito a una distancia marcada por el punto “r” sería simplemente q / 4pi (epsilon_0) r. Si conecta el sistema a tierra, toda esta carga se descargará a tierra y la energía potencial del sistema irá a cero. No obtendrá ninguna energía adicional de esa manera.

Cuando descarga un cuerpo cargado utilizando las leyes de conservación de energía, la energía eléctrica de la corriente que fluye es igual al esfuerzo que realiza para cargar el cuerpo, la descripción muestra que puede tener más energía eléctrica fluyendo que la energía que ingresa cargando el cuerpo.